1.               1- مقدمه و پیشینة پژوهش

مفهوم سرمایه‌گذاری را می‏توان در قالب عبارت «به‌کارگیری سرمایه یا منابع فعلی با هدف کسب بازدهی در آینده» خلاصه کرد (هارپر و همکاران^[i]، 2017). دو عامل ریسک و بازده، دو جزء اساسی و جدایی‌ناپذیر در تحلیل سرمایه‌گذاری است که بر‌اساس پژوهش‌های انجام‌شده، رابطة معناداری بین این دو عامل برقرار است (بی و کرولی^[ii]، 1994) و از همین‌ رو، کسب بیشترین بازدهی در عین کنترل سطح ریسک سبد سرمایه‌گذاری، همواره یکی از مسائل اساسی در این حوزه است.

از گذشته تا به حال، بازار سرمایه و به‌طور خاص سهام، یک بازار سنتی با حجم بالای معامله بوده و به این سبب‌ سرمایه‌گذاران به آن توجه کرده‌اند (قنبری و همکاران^[iii]، 1400). مارکوئیتز[iv] (1952) با در نظر گرفتن میانگین و واریانس نرخ بازده به‌عنوان توابع هدف از جنس بیشینه‌سازی و کمینه‌سازی، نظریة مدرن سبد سهام[v] را پایه‌گذاری کرد. پس از انتشار نظریة مارکوئیتز (1952)، نگرش عموم نسبت‌به سرمایه‌گذاری و سبد سهام با تغییرات فراوانی همراه ‌و این نظریه به عنوان یک ابزار کارا در بهینه‌سازی سبد سهام به کار گرفته شد (ابزری و همکاران^[vi]، 1393).

اگر در مسئلۀ بهینه‌سازی سبد سهام، ریسک نامطلوب[vii] را معادل احتمال زیان‌کردن تعریف کنیم، آنگاه واریانس ‌ شاخص مناسبی برای محاسبة آن نخواهد بود؛ زیرا واریانس تفاوتی بین نوسان‌های مثبت و منفی قائل نمی‌شود. به‌منظور حل این مشکل، مارکوئیتز (1959) مدل خود را به شکل میانگین – نیم‌واریانس[viii] تغییر داد. در‌واقع نیم‌واریانس، تنها ریسک نامطلوب (مقادیر کوچک‌تر از میانگین بازده) را در نظر می‌گیرد (راعی و سعیدی^[ix]، 1392).

کلبانر و همکاران[x] (2017) نشان دادند که تفاوت معناداری بین مرز کارای سبدهایی وجود دارد که با مدل میانگین – نیم‌واریانس و مدل میانگین – واریانس حل شده‌اند‌. راعی و همکاران[xi] (1389) از الگوریتم جست‌وجوی هارمونی[xii] به‌منظور بهینه‌سازی سبدی متشکل از 20 سهم تحت محدودیت‌های مختلف‌ بهره بردند. داودی‌فر[xiii] (1399) در پژوهشی، الگوریتم‌های ازدحام ذرات[xiv]، ژنتیک[xv] و کرم شب‌تاب[xvi] را بر‌اساس مدل میانگین – نیم‌واریانس مقایسه کرد و نشان داد که الگوریتم ژنتیک نسبت‌به دیگر الگوریتم‌ها، کارایی بالاتری دارد.

راعی و همکاران (1396) معیار آنتروپی شانون را یکی از شاخص‌های ارزیابی سطح ریسک سبد سهام معرفی کردند. آنها در این پژوهش نشان دادند که آنتروپی بر‌خلاف واریانس، وابستگی به تقارن توزیع نرخ بازده ندارد و ‌ یک شاخص جدید برای ارزیابی سطح ریسک سبد سهام است. به‌منظور اثبات این ادعا، یک مسئلۀ سبد سهام را بر‌اساس مدل میانگین – واریانس – آنتروپی با تکیه بر الگوریتم ازدحام ذرات حل کردند و نشان دادند که مدل پیشنهادی آنان از کارایی بالاتری نسبت‌به مدل سنتی مارکوئیتز (میانگین – واریانس) برخوردار است. شایان ذکر است که مانند واریانس، آنتروپی نیز تفاوتی بین نوسان‌های مثبت و منفی قائل نمی‌شود. ژو و همکاران[xvii] (2016) نیز در پژوهشی نشان دادند که مدل میانگین – نیم‌آنتروپی نسبت‌به مدل‌های میانگین – آنتروپی و میانگین – واریانس، توزیع وزن مناسب‌تری بین دارایی‌های سبد سرمایه‌گذاری ایجاد می‌کند. لو و همکاران[xviii] (2021) در مطالعه‌ای بیان کردند که نیم‌آنتروپی[xix]، معیار کاراتری نسبت‌به آنتروپی است و سپس با توسعة یک الگوریتم فراابتکاری، مسئلۀ انتخاب سبد سهام چند دوره‌ای با رویکرد میانگین – نیم‌آنتروپی – چولگی را مطرح‌ و به‌منظور تطابق بیشتر مدل‌های بهینه‌سازی سبد سهام با دنیای واقعی، آن را تحت محدودیت‌های حدی (محدودیت بر حداکثر و حداقل وزن سهام در سبد سرمایه‌گذاری)، کاردینالیتی (محدودیت بر تعداد سهام انتخاب‌شده در سبد سرمایه‌گذاری) و نقدشوندگی (خرید و فروش سهام در سریع‌ترین زمان ممکن با کمترین میزان حاشیة ضرر)، بهینه‌سازی کردند.

محققانی مانند چانگ و همکاران[xx] (2009) و فرناندز و گومز[xxi] (2007) نشان دادند که با اضافه‌شدن محدودیت‌هایی نظیر محدودیت‌های حدی و کاردینالیتی به مدل، مسئله به شکل ان‌پی‌سخت³ در آمده است و در ادامه به‌جای استفاده از روش‌های دقیق برای حل این مسائل، از تکنیک‌های غیردقیق (الگویتم‌های ابتکاری و فراابتکاری) بهره جستند (کالایچی و همکاران[xxii]، 2019). توبا و باکانین[xxiii] (2014) برای این منظور، از الگوریتم تلفیقی کلونی زنبور عسل[xxiv] و کرم شب‌تاب استفاده‌ و مسئلۀ سبد سرمایه‌گذاری را با رویکرد میانگین – واریانس و با در نظر گرفتن محدودیت کاردینالیتی بهینه‌سازی کردند. در تحقیق مشابه دیگری، استرامبرگر و همکاران[xxv] (2016)، مسئلۀ پایه‌ای سبد سرمایه‌گذاری در حضور تمام دارایی‌های کاندید در سبد را به کمک تلفیقی از الگوریتم‌های کلونی زنبور عسل و خفاش⁸ بهینه‌سازی کردند. وئی و یه[xxvi] (2007) به کمک الگوریتم ژنتیک، مسئلۀ سبد سرمایه‌گذاری چند دوره‌ای احتمالی را با رویکرد میانگین – نیم‌واریانس – ارزش در معرض ریسک شرطی[xxvii] با در نظر گرفتن کارمزد معاملات، بهینه‌سازی کردند. سلیمانی و همکاران[xxviii] (2009) در کنار محدودیت‌های حدی و کاردینالیتی، مدل پایه‌ای مارکوئیتز (1952) را با افزودن محدودیت‌های دیگری به شرح زیر و نیز به کمک الگوریتم ژنتیک بهینه‌سازی کردند:

- ضریب خرید: در صورتی که خرید یک دارایی منوط به رعایت ضرایب خاصی باشد، از این محدودیت استفاده می‌شود؛ برای مثال رعایت ضریب صحیحی از 10 در تعداد سهام.

- تناسب ارزش بازار:‌ این محدودیت بیان می‌کند که اگر مجموعۀ کل دارایی‌ها را به چند زیرمجموعه تقسیم کنیم، وزن نهایی تخصیص‌یافته به هر زیر‌مجموعه، باید متناسب با ارزش بازار آن زیرمجموعه تعیین شود.

ژالوتا و تاکور[xxix] (2018) در میان الگوریتم‌های تکاملی متعدد، الگوریتم ژنتیک اصلاح‌شده‌ای را توسعه دادند و محدودیت‌های حدی و کاردینالیتی را در مدل خود، لحاظ کردند. میرابی و زارعی‌ محمودآبادی[xxx] (1399) سبد سهام را با ارزیابی سطح ریسک، به کمک تخمین‌های خوش‌بینانه، محتمل و بدبینانه و بر‌اساس داده‌های تاریخی و نظر خبرگان ‌‌مدل‌سازی کردند؛ سپس آن را به کمک یک الگوریتم توسعه داده شده بر پایة الگوریتم ژنتیک و بهینه‌سازی شیرها[xxxi] حل کردند و کارایی الگوریتم خود را با آزمایش بر‌ داده‌های تاریخی 50 شرکت فعال‌تر بورس اوراق بهادار تهران نشان دادند.

سجادی[xxxii] (1390)‌، ارزش در معرض ریسک را شاخص سنجش سطح ریسک دانسته و از آن استفاده کرده است. او همچنین مسئلۀ بهینه‌سازی سبد سرمایه‌گذاری را با دو الگوریتم ژنتیک و رقابت استعماری[xxxiii] حل کرد. در پژوهش مشابه دیگری، کریمی و گودرزی ‌دهریزی[xxxiv] (1399)، سبد سرمایه‌گذاری را بر‌اساس معیار ارزش در معرض ریسک شرطی به‌عنوان شاخص سنجش سطح ریسک،‌ بهینه‌سازی کردند و نشان دادند که بین الگوریتم ازدحام ذرات و رقابت استعماری، الگوریتم رقابت استعماری در زمان کوتاه‌تری به جواب بهینه می‌رسد. الگوریتم گرگ‌های خاکستری[xxxv] را برای اولین بار‌ میرجلیلی و همکاران[xxxvi] (2014) معرفی کردند. این الگوریتم در دستة الگوریتم‌های فراابتکاری مبتنی بر هوش جمعی قرار می‌گیرد که بر‌اساس فرآیند شکار‌کردن دسته‌جمعی گرگ‌های خاکستری، شکل داده شده است. زینل و مصطفی[xxxvii] (2016) از الگوریتم گرگ‌های خاکستری به‌منظور پیش‌بینی قیمت انس جهانی طلا استفاده کردند. ستیاوان[xxxviii] (2020) نشان داد که در حل مسائل بهینه‌سازی سبد سهام با رویکرد میانگین - ارزش در معرض ریسک شرطی، کارایی الگوریتم گرگ‌های خاکستری در برابر الگوریتم‌های ژنتیک، جست‌وجوی فاخته[xxxix]، شعلة پروانه[xl]، کرم شب‌تاب، بهینه‌سازی ملخ[xli] و بهینه‌سازی سنجاقک[xlii]، بالاتر است. ایمران و همکاران[xliii] (2022) از الگوریتم گرگ‌های خاکستری به‌منظور بهینه‌سازی سبد سرمایه‌گذاری در بازار بورس بمبئی[xliv]، بر‌اساس بهبود نسبت شارپ[xlv] بهره گرفتند. آنها نشان دادند که الگوریتم گرگ‌های خاکستری در مقایسه با الگوریتم ژنتیک، در حل مسائل بهینه‏سازیی سبد سرمایه‌گذاری برتری دارد. ساکالوسکاس و همکاران[xlvi] (2023) با روش نوآورانه‌ای، در ابتدا سهام کاندید از شرکت‌های حاضر در شاخص اس‌اندپی 500 [xlvii] را انتخاب کردند و سپس با استفاده از الگوریتم گرگ‌های خاکستری، به تخصیص اوزان بهینه و تشکیل سبدی از سهام کاندید با رویکرد میانگین – واریانس اقدام کردند. مصطفایی‌ در میان و دعایی[xlviii] (1400) به‌منظور حل مسئلۀ انتخاب سبد سهام با رویکرد مبتنی بر بهینه‌سازی تصادفی، از الگوریتم‌های فراابتکاری ژنتیک و گرگ‌های خاکستری بهره جستند. آنها در انتهای مطالعۀ خود، نتیجه گرفتند که الگوریتم گرگ‌های خاکستری کارایی بالاتری نسبت‌به الگوریتم ژنتیک دارد.

در حوزة بهینه‌سازی سبد پروژه با رویکردهای تحلیل سهام، تحقیقات اندکی انجام شده است؛ برای نمونه، هونگ و همکاران[xlix] (2023) به کمک مدلی چند هدفه و با رویکرد میانگین – نیم‌واریانس، مسئلۀ انتخاب سبد پروژه‌ را با زمان اجرای متفاوت، ضمن درنظرگیری سرمایه‌گذاری مجدد و هم‌افزایی بین پروژه‌ها، حل کردند.

به‌منظور ترسیم تصویر کلی از جایگاه مطالعة حاضر در بین پژوهش‌های اخیر، جدول (1) مرتبط‌ترین پژوهش‌هایی را به‌صورت مختصر مقایسه می‌کند که در زمینة بهینه‌سازی سبد سهام و سبد پروژه انجام شده‌اند‌. لازم به توضیح است که مرتب‌سازی پژوهش‌ها در جدول (1)، بر‌اساس سال انتشار و حروف الفبا انجام شده است.

                                                 i.            جدول 1- پژوهش‌های انجام‌شدة اخیر در حوزة بهینه‌سازی سبد سرمایه‌گذاری

1. Table 1- Recent researches in the field of portfolio optimization

نویـــسنده/ نویسندگان	سال انتشار	محتوای سبد	تابع/توابع هدف	محدودیت‌های خاص	الگوریتم حل
راعی و همکاران	1396	سهام	میانگین واریانس آنتروپی	-	ازدحام ذرات
ژالوتا و تاکور	2018	سهام	میانگین واریانس چولگی	حدی کاردینالیتی	ژنتیک بهبودیافته
ستیاوان	2020	سهام	میانگین ارزش در معرض ریسک شرطی	-	گرگ‌های خاکستری ژنتیک جست‌وجوی فاخته شعلة پروانه کرم شب‌تاب بهینه‌سازی ملخ بهینه‌سازی سنجاقک
کریمی و گودرزی‌ دهریزی	1399	سهام	میانگین ارزش در معرض ریسک شرطی	-	رقابت استعماری ازدحام ذرات
میرابی و زارعی ‌محمودآبادی	1399	اوراق قرضه طلا ارزهای بین‌المللی املاک سهام	میانگین	حدی کاردینالیتی (در تعداد حوزة سرمایه‌گذاری و در تعداد سهام)	ترکیبی از ژنتیک و بهینه‌سازی شیر
لو و همکاران	2021	سهام	میانگین نیم‌آنتروپی چولگی	حدی کاردینالیتی نقدشوندگی	ترکیبی از کرم شب‌تاب و ارگانیسم‌های هم‌زیست
ایمران و همکاران	2022	سهام	نسبت شارپ واریانس	حدی	ژنتیک گرگ‌های خاکستری
داودی‌فر	1399	سهام	میانگین نیم‌واریانس	-	ازدحام ذرات ژنتیک کرم شب‌تاب
مصطفایی‌درمیان و دعایی	1400	سهام	میانگین واریانس درجه‌دوم	حدی	ژنتیک گرگ‌های خاکستری
ساکالوسکاس و همکاران	2023	سهام	میانگین واریانس	-	گرگ‌های خاکستری
هونگ و همکاران	2023	پروژه	میانگین نیم‌واریانس	-	باینری جایا[l] باینری رائو[li] یک باینری رائو دو
مطالعة حاضر	1403	پروژه و سهام	میانگین نیم‌واریانس نیم‌آنتروپی	حدی کاردینالیتی	ژنتیک گرگ‌های خاکستری رقابت استعماری

 

افزایش نسبت بازده به ریسک، همواره اصلی‌ترین چالش سرمایه‌گذاران بوده است. امروزه‌ تنوع حوزه‌های سرمایه‌گذاری به‌ویژه در پروژه‌ها، سرمایه‌گذاران را ترغیب کرده است تا علاوه بر بازارهای مالی سنتی، بخشی از سبد سرمایه‌گذاری خود را به‌صورت هم‌زمان به پروژه‌ها اختصاص دهند. در همین راستا، افزودن دارایی‌های گوناگون به سبد سرمایه‌گذاری، موجب کاهش ریسک آن می‌‌شود (خاک‌بیز و همکاران^[lii]، 1396). علاوه بر این، با توجه به نوسانات شدید سال‌های اخیر بازارهای مالی از یک طرف و ثبات سودآوری بلندمدت پروژه‌ها از سوی دیگر، سرمایه‌گذاران ترغیب شده‌اند تا ترکیبی از سبد سهام و پروژه را تشکیل دهند و آن را مدیریت کنند.

در مدل پیشنهادی همانند مدل پایة مارکوئیتز (1952)، فرض شده است که نرخ بازده از تابع توزیع نرمال پیروی می‌کند. در این مدل، از میانگین نرخ بازده به‌عنوان شاخص بازده و از نیم‌واریانس و نیم‌آنتروپی به‌عنوان شاخص‌های سنجش سطح ریسک استفاده خواهد شد؛ زیرا سرمایه‌گذاران همواره به‌دنبال کاهش ریسک‌های نامطلوب‌اند و از ریسک‌های مطلوب، استقبال می‌کنند. همچنین محدودیت‌های حدی و کاردینالیتی نیز در این مدل گنجانده شده‌اند. در‌نهایت به‌منظور اعتبارسنجی نتایج مدل، یک مثال عددی ارائه و با الگوریتم‌های فراابتکاری ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری، مرز کارای آن کشف و مقایسه خواهد شد.

در بخش دوم این مقاله، رویکرد پیشنهادی ارائه شده است؛ بخش سوم را نحوة پیاده‌سازی رویکرد پیشنهادی و نتایج عددی حاصل از آن شکل داده‌اند؛ نتایج حاصل از مقایسة الگوریتم‌ها نیز در بخش چهارم تفسیر‌ و در بخش پنجم به جمع‌بندی و ارائه پیشنهاد برای انجام تحقیقات آتی اختصاص یافته است.

2.               2- رویکرد پیشنهادی

در این بخش، ابتدا مفروضات این پژوهش مرور‌ و در ادامه، چگونگی آماده‌سازی داده‌های مسئله برای وارد‌کردن به مدل و ساختار مدل پیشنهادی به‌تفصیل ارائه می‌شود.

3.               2-1- مفروضات مدل‌سازی ریاضی

مفروض 1. قرارداد پروژه‌ها به‌صورت پرداخت درصدی[liii] تعریف شده است. مطابق با این نوع قرارداد، کارفرما موظف به پرداخت هزینة انجام‌شده، به اضافة درصد سود مشخصی به پیمانکار در طی انجام پروژه است که هر پرداخت کارفرما در چند بازۀ زمانی هزینه‌ و پس از اتمام منابع مالی، مجدداً پرداخت دیگری از سوی کارفرما انجام می‌شود؛

مفروض 2. تمام هزینه‌های پروژه اعم از هزینه‌های مستقیم، غیرمستقیم و بالاسری در هزینه‌های هر دوره، محاسبه شده است؛

مفروض 3. مدت‌زمان اجرای همة پروژه‌ها یکسان و برابر با 52 هفته (یک سال) در نظر گرفته شده است که در صورت کوتاه‌تر‌بودن زمان انجام پروژه، جریان نقدی پس از زمان تکمیل آن، صفر در نظر گرفته می‌شود؛

مفروض 4. امکان انتخاب کل یا بخشی از هر پروژه به‌صورت شراکتی مقدور است؛

مفروض 5. همانند مدل پایه‌ای مارکوئیتز (1952)، نرخ بازده پروژه و سهام از تابع توزیع نرمال پیروی می‌کنند؛

مفروض 6. نرخ تورم برابر با صفر در نظر گرفته شده است، اما در صورت وجود تورم، ابتدا باید قیمت یا جریان نقدی هر دوره با درنظرگیری تورم و به‌صورت خالص محاسبه شود؛

مفروض 7. به‌سبب موهومی‌شدن برخی از مقادیر نیم‌آنتروپی، فاصله از مبدأ مختصات برابر با تخمینی حقیقی از اعداد موهومی در نظر گرفته شده است؛ یعنی عدد حقیقی  جایگزین عدد موهومی به فرم نمایشی  می‌شود.

4.               2-2- آماده‌سازی اولیة داده‌ها و محاسبة نرخ بازده پروژه‌ها و سهام

به‌منظور یکسان‌سازی فضای تحلیل پروژه با سهام، لازم است گام‌های زیر بر روی پروژه‌ها انجام گیرند:

گام 1. در این گام، ارزش آتی سری یکنواخت مبالغ دریافتی از کارفرما در هر پروژه، محاسبه می‌شود؛ برای نمونه، شکل (1) فرآیند یکنواخت‌سازی جریان‌های درآمدی پروژه‌ای را نشان می‌دهد که مطابق با بخش الف، مبالغ دریافتی از کارفرما در دوره‌های زمانی 1، 4 و 9 برابر با ،  و  بوده و بایستی در سه بازه زمانی پس از این پرداخت‌ها، از سوی پیمانکار هزینه شوند. بخش ب شکل (1)، فرم نهایی جریان نقدی پروژه را پس از تبدیل به سری‌های یکنواخت نمایش می‌دهد؛

گام 2. جریان نقدی خالص هر دوره از پروژه‌ها با توجه به درآمد هر دوره و هزینه‌های مرتبط با آن محاسبه می‌شود؛

گام 3. جریان نقدی خالص نرمال بر‌اساس روابط (1) و (2) محاسبه می‌شود. این اقدام، نسبت تغییرات بین جریان خالص دو دورة متوالی را حفظ‌ و امکان محاسبة صحیح نرخ بازده را برای دوره‌هایی با خالص جریان نقدی منفی، میسر می‌کند؛

برای جریان نقدی منفی؛	(1)
برای جریان نقدی مثبت؛		(2)

گام 4. داده‌های پروژه‌ها و سهام در تمام دوره‌ها به نرم‌افزار متلب وارد و نرخ بازده آنها محاسبه می‌شود. در صورتی که بین مقدار خالص جریان نقدی دو دورة متوالی در یک پروژه تغییر علامت وجود داشته باشد، به‌دلیل نبود امکان محاسبۀ نرخ بازده، مقدار آن «نامشخص[liv]» لحاظ می‌شود.

 

شکل 1- محاسبة ارزش آتی سری یکنواخت جریان‌های درآمدی پروژه

Fig. 1- Calculation of uniform series for future worth of project incomes

5.               2-3- پارامترها، متغیرها و نشانه‌های به‌کار رفته در مدل

پارامترها، متغیرها و نشانه‌هایی که در مدل ریاضی این مسئله به‌ کار رفته‌اند، به قرار زیرند:

(یا )	نشانة پروژه یا سهم ( )
	نشانة دورة زمانی ( )
	متغیر تصادفی نرخ بازده دارایی  ام
	وزن تخصیص داده شده به دارایی  ام در سبد سرمایه‌گذاری
	تخصیص /‌ تخصیص‌نیافتن دارایی  ام به سبد سرمایه‌گذاری
	نرخ بازده دارایی  ام در دورة زمانی  ام
	سرمایة در دسترس برای سرمایه‌گذاری
	حداکثر سرمایة‌ تخصیص‌دادنی به دارایی  ام
	حداقل سرمایة‌ تخصیص‌دادنی به دارایی  ام
	حداکثر تعداد دارایی‌ انتخاب‌شدنی در سبد سرمایه‌گذاری
	حداقل تعداد دارایی‌ انتخاب‌شدنی در سبد سرمایه‌گذاری

6.               2-4- محاسبة میانگین نرخ بازده

با توجه به مفروض 5، متغیر تصادفی  مطابق با رابطة (3) تعریف می‌شود.

(3)

تعریف 1. اگر  یک متغیر تصادفی و  برابر با مقدار احتمال باشد، آنگاه امید ریاضی  مطابق با رابطة (4) تعریف می‌شود (لیو^[lv]، 2007).

(4)

البته به شرطی که یکی از دو انتگرال رابطة (4) متناهی باشد.

قضیة 1. با توجه به اینکه متغیرهای تصادفی بیشتر به شکل یک توزیع مشخص رفتار می‌کنند، لیو[lvi] (2010) رابطة (5) را برای محاسبة امید ریاضی متغیر تصادفی  با توزیع  ارائه کرد.

(5)

بر‌اساس قضیة 1 و روابط (3) و (5)، امید ریاضی متغیر تصادفی  به شکل رابطة (6) بازنویسی می‌شود:

(6)

7.               2-5- محاسبة نیم‌واریانس

تعریف 2. با توجه مدل استاندارد مارکوئیتز (1952)، واریانس (ریسک سبد سرمایه‌گذاری) مطابق رابطة (7) محاسبه می‌شود.

(7)

همچنین مقدار  ، از‌طریق رابطة (8) محاسبه می‌شود.

(8)

تعریف 3. برای محاسبة مقدار ، از ضریب همبستگی خطی پیرسون[lvii]، مطابق رابطة (9) استفاده می‌شود.

(9)

تعریف 4. با توجه به ناتوانی معیار واریانس در محاسبة ریسک نامطلوب، معیار نیم‌واریانس مطابق با رابطة (10) تعمیم می‌یابد.

(10)

که در آن:

	(11)
		(12)

8.               2-6- محاسبة نیم‌آنتروپی

تعریف 5. اگر فرض کنیم  یک متغیر تصادفی با توزیع مشخص  باشد، آنگاه آنتروپی مطابق رابطة (13) تعریف می‌شود.

(13)

که در آن:

(14)

تعریف 6. با توجه به ناتوانی معیار آنتروپی در محاسبة ریسک نامطلوب، معیار نیم‌واریانس مطابق با رابطة (15) تعمیم می‌یابد؛ به‌طوری که امید ریاضی متغیر تصادفی  ، موجود، متناهی و برابر با  باشد.

(15)

که در آن:

		(16)
	(17)

اگر  فرض شود، آنگاه رابطة نیم‌آنتروپی به شکل رابطة (18) بازنویسی می‌شود:

(18)

با جای‌گذاری  (تابع چگالی توزیع نرمال) در رابطة (16) بر‌اساس مفروض 5، یکی دیگر از شاخص‌های محاسبة ریسک سبد سرمایه‌گذاری استخراج می‌شود.

9.               2-7- مدل ریاضی پیشنهادی

با توجه به بند‌های پیشین و پس از افزودن محدودیت‌های حدی و کاردینالیتی، مدل پیشنهادی برای مسئلۀ بررسی‌شده عبارت است از:

	(19)
		(20)
			(21)

Subject to:

 

	(22)
	(23)
	(24)
	(25)
	(26)
	(27)

 

در مدل ریاضی مسئله، روابط (19)، (20) و (21) نقش توابع هدف را ایفا کرده و به ترتیب به بیشینه‌کردن میانگین نرخ بازده و کمینه‌کردن نیم‎‍واریانس و نیم‌آنتروپی سبد سرمایه‏گذاری، با توجه به وزن هر دارایی در سبد روی می‌آورند. روابط (22) تا (27) قیدهای مسئله را به زبان ریاضی بیان می‌کنند. روابط (22) و (26) تأکید می‌کنند که وزن هر دارایی، عددی نامنفی است و مجموع این اوزان باید برابر با یک شود. روابط (23) و (27)، یک متغیر باینری جدید را برای شمارش تعداد دارایی‌های انتخاب‌شده در سبد سرمایه‌گذاری معرفی می‌کنند. روابط (24) و (25) نیز به ترتیب، محدودیت‌های وزن هر دارایی و تعداد دارایی‌ها را در سبد سرمایه‌گذاری‌ اعمال می‌کنند.

10.           2-8- الگوریتم‌های فراابتکاری

در این پژوهش، الگوریتم‌های فراابتکاری ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری، که‌ محققان متعددی از آنها استفاده کرده بودند، به‌منظور حل مدل ریاضی بند قبلی به ‌کار گرفته خواهند شد. شایان ذکر است که پارامترهای اولیة الگوریتم‌های رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری به کمک روش تاگوچی و الگوریتم ژنتیک، به‌صورت خودکار با نرم‌افزار متلب تنظیم می‌شوند. مراحل اجرای هر‌کدام از الگوریتم‌های فراابتکاری ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری به‌طور خلاصه، در شکل (2)‌ مشاهده می‌شود.

11.           3- پیاده‌سازی مدل پیشنهادی و نتایج عددی

در این بند و با هدف اعتبارسنجی مدل توسعه داده شده، یک سبد سرمایه‌گذاری بر‌اساس خواسته‌های سرمایه‌گذار و با کمک 3 الگوریتم فراابتکاری ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری حل شده است و در انتها به‌منظور مقایسة توانمندی الگوریتم‌های‌ اشاره‌شده، مرزهای کارای حاصل‏شده با یکدیگر مقایسه شده‌اند. شایان ذکر است که پیاده‌سازی مدل مربوطه و حل آن با استفاده از الگوریتم‌های فراابتکاری به کمک نرم‌افزار متلب[lviii]، نسخۀ R2023b در رایانه‌ای با پردازندة i5-6360U و 8GB رم در سیستم‌عامل ویندوز 11، انجام شده است.

 

شکل 2- خلاصة مراحل اجرای الگوریتم‌های ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری (راست به چپ)

Fig. 2- Summary of the implementation steps of GA, ICA and GWO algorithms (right to left)

12.           3-1- داده‌های مورد نیاز

داده‌های اصلی به شرح جدول (2) تأمین شده است.

داده‌های مربوط به قیمت سهام، از تاریخ 06/01/1401 تا 05/01/1402 به‌صورت هفتگی از وب‌سایت رسمی شرکت مدیریت فناوری بورس تهران[lix] استخراج‌ و قیمت بسته‌شدن کندل‌استیک‌ها[lx]، قیمت مبنا در نظر گرفته شده است.

داده‌های مربوط به خالص جریان نقدی سه پروژه در طی یک سال نیز، بر‌اساس درآمد و هزینة هر دوره، به‌صورت ساختگی شبیه‌سازی شده‌اند و نیز سعی شده است تا بیشترین شباهت به پروژه‌های دنیای واقع را در بر داشته باشند.

                                                                                                 i.            جدول 2- داده‌های اصلی

1. Table 2- Main data

داده	مقدار
کل بودجة سرمایه‎‍گذار	40000 میلیون ریال
حد پایین سرمایه در هر سهم و پروژه	4000 میلیون ریال
حد بالای سرمایه در هر سهم	24000 میلیون ریال
حد بالای سرمایه در هر پروژه	25 درصد از مجموع هزینه‎‍های هر پروژه
حداقل تعداد سهم و پروژه در سبد سرمایه‌گذاری	2
حداکثر تعداد سهم و پروژه در سبد سرمایه‌گذاری	5
سطح ریسک‎‍پذیری	35 درصد

 

13.           3-2- تنظیم نقطة شروع و پارامترهای الگوریتم‌های فراابتکاری

با توجه به اهمیت و تأثیرگذاری نقطة شروع (جواب اولیه) و پارامترهای اولیة الگوریتم‌های فراابتکاری در ارائۀ پاسخ مناسب، نقطة شروع و پارامترهای اولیة الگوریتم‌های‌ استفاده‌شده تنظیم شده‌اند. برای این منظور،‌ پس از انجام چندین مرحله آزمون و خطا و تحلیل نتایج‌های حاصل‌شده، نقطة شروع الگوریتم‌های رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری بر‌اساس رابطة (28) تنظیم شد.

(28)

‌در این رابطه،  مجموع مقادیر نرمال‌شدة نیم‌واریانس و نیم‌آنتروپی بر‌اساس رابطة (29) است که همان سطح ریسک دارایی  ام را بیان می‌کند.

(29)

به‌منظور تنظیم پارامترهای الگوریتم‌های فراابتکاری رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری، از روش تاگوچی[lxi] بهره گرفته شده است (رُی^[lxii]، 2001). تاگوچی با ارائۀ مفهوم نسبت سیگنال به نویز[lxiii]، روش جدیدی را برای طراحی و تحلیل آزمایش‌ها ارائه کرد. یکی از مزایای اصلی روش تاگوچی،‌ نیاز‌نداشتن به انجام تمام آزمایش‌های ممکن است و با توجه به تعداد سطوح و تعداد پارامترهای‌ مطالعه‌شده، آزمایش‌هایی با تکرارهای کمتر، مطابق با جداول استاندارد تاگوچی طراحی می‌شوند.

برای اجرای روش تاگوچی، هر‌کدام از پارامترهای الگوریتم‌های فراابتکاری رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری در سه سطح تعریف و در ادامه، بهترین سطوح با کمک نرم‌افزار مینی‌تب[lxiv] نسخۀ 21.4.2 استخراج شده‌اند. جدول (3)، پارامترهای هر الگوریتم و سطوح مختلف آنها را نشان می‌دهد.

 

                                                                                                                       i.             

                                       ii.            جدول 3- شرح پارامتر و سطوح الگوریتم‌های رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری

1. Table 3- Description of parameters and levels of ICA and GWO algorithms

نام الگوریتم	شرح پارامتر	سطوح
رقابت استعماری (ICA)	بیشینة تعداد تکرار الگوریتم	200	300	500
	تعداد جمعیت (تعداد کشورها)	10	20	50
	تعداد استعمارگران	3	6	9
	ضریب جذب ( )	2	3	4
	احتمال انقلاب	1/0	3/0	5/0
	نرخ انقلاب	05/0	07/0	1/0
	ضریب تأثیر قدرت مستعمره در امپراتوری ( )	1/0	2/0	3/0
گرگ‌های خاکستری (GWO)	بیشینة تعداد تکرار الگوریتم	300	500	1000
	تعداد جمعیت (تعداد گرگ‌های خاکستری)	10	20	50

 

با توجه به تعداد سطوح و تعداد پارامترهای الگوریتم رقابت استعماری، که به ترتیب برابر با 3 و 7 هستند، لازم است از جدول استاندارد L27 (3^7) تاگوچی به‌منظور کشف بهترین سطح از هر پارامتر، استفاده شود. با تفسیری مشابه، لازم است از جدول استاندارد L9 (3^2) تاگوچی به‌منظور کشف بهترین سطح از هر پارامتر الگوریتم گرگ‌های خاکستری، استفاده کرد.

در روش تاگوچی، نتیجة حاصل از انجام یک مرتبه آزمایش در هر اجرا، از جدول تاگوچی کافی است (رُی، 2001)، اما تنها در این مطالعه با توجه به احتمال وجود خطا در نتیجة الگوریتم‌های فراابتکاری، در هر اجرا از جدول استاندارد تاگوچی، مدل ریاضی مسئله با الگوریتم مربوطه، سه مرتبه بهینه‌سازی شده است. از شاخص میانگین فاصله از جواب ایده‌آل[lxv] مطابق رابطة (30) و همچنین شاخص مدت‌زمان اجرای الگوریتم نیز در سه مرتبۀ بهینه‌سازی به‌منظور مقایسة سطوح مختلف استفاده شده است. به‌منظور هم‌مقیاس‌شدن هر دو شاخص، نرمال‌سازی مطابق با رابطة (29) انجام شده است.

(30)

در رابطة (30)، مقدار  بیانگر مقدار تابع هدف در اجرای مرتبة  ام است. مقادیر ،  و  به ترتیب بهترین، بیشترین و کمترین مقدار تابع هدف در بین تمام پاسخ‌ها هستند. با توجه به اینکه مقدار کوچک‌تر در شاخص نهایی، از اولویت بالاتری برخوردار است، کمترین و بهترین مقدار تابع هدف، معادل‌اند.

در‌نهایت با توجه به اهمیت بیشتر شاخص اول (بیانگر کیفیت جواب) در مقایسه با شاخص دوم (بیانگر سرعت اجرا) در مسئلۀ بررسی‌شده، به ترتیب وزن‌های 7/0 و 3/0 برای این دو شاخص لحاظ‌ شد و در ادامه نیز مقدار نهایی این شاخص‌ها در قالب یک شاخص ادغامی محاسبه می‌شود.

نسبت سیگنال به نویز از‌طریق رابطة (31)، که همان رابطة کوچک‌تر - بهتر[lxvi] تاگوچی است، محاسبه می‌‌شود.

(31)

در رابطة (31)،  شاخص نهایی آزمایش 𝑖ام و 𝑘 تعداد تکرارهای آزمایش است.

نتایج به‌کارگیری روش تاگوچی برای کشف بهترین سطوح از پارامترهای الگوریتم‌های فراابتکاری رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری در شکل (3) و جدول (4)، نمایش داده شده است. آن سطحی از هر پارامتر در نمودار نسبت سیگنال به نویز‌ انتخاب می‌شود که بیشترین مقدار را به خود گرفته باشد.

 

شکل 3- نتایج روش تاگوچی برای یافتن بهترین سطح الگوریتم‌های رقابت استعماری (راست) و گرگ‌های خاکستری (چپ)

Fig. 3- Results of Taguchi's method to find the best level of ICA (right) and GWO (left) parameters

                                         iii.            جدول 4- سطوح انتخاب‌شدة الگوریتم‌های رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری

1. Table 4- Selected levels of ICA and GWO algorithms

نام الگوریتم	شرح پارامتر	سطح منتخب
رقابت استعماری (ICA)	بیشینة تعداد تکرار الگوریتم	300
	تعداد جمعیت (تعداد کشورها)	20
	تعداد استعمارگران	6
	ضریب جذب ( )	4
	احتمال انقلاب	5/0
	نرخ انقلاب	1/0
	ضریب تأثیر قدرت مستعمره در امپراتوری ( )	3/0
گرگ‌های خاکستری (GWO)	بیشینة تعداد تکرار الگوریتم	200
	تعداد جمعیت (تعداد گرگ‌های خاکستری)	10

14.           3-3- نتایج عددی

در این بخش به‌منظور کشف مرز کارا و ارائۀ سبدهای متنوع سرمایه‌گذاری با سطوح ریسک مختلف، توابع هدف مسئله مطابق رابطة (32) ادغام شده‌اند (دب^[lxvii]، 2005):

(32)

در رابطة (32)،  پارامتر وزن‌دهنده به توابع هدف است و مقدار آن در فاصلة [0,1] تعیین می‌شود؛ برای نمونه، مقدار صفر این پارامتر، توابع هدف از جنس ریسک را بی‌اثر‌ و سبدهای سرمایه‌گذاری را فقط بر‌اساس معیار بازده ارائه می‌کند. به طریق مشابه، در صورتی که پارامتر  مقدار آستانة بالایی خود را بگیرد، تنها توابع هدف از جنس ریسک در چینش سبدهای سرمایه‌گذاری مؤثر واقع می‌شود. در این پژوهش، 11 مقدار مختلف برای پارامتر  از 0 تا 1 به فاصلة 1/0 در نظر گرفته‌ و مدل ریاضی مسئله، اجرا شده است.

در این پژوهش به‌منظور تبدیل یک مدل مقیّد به نامقیّد، از توابع جریمه[lxviii] استفاده شده است. به‌کارگیری توابع جریمه در مسائل بهینه‌سازی به کمک الگوریتم‌های فراابتکاری، یک شیوة رایج است. همان‌طور که از نام این روش مشخص است، تابع جریمه بر جواب‌های ناموجه اعمال می‌شود و تابع هدف را از مقدار بهینه، بسیار دور می‌کند. یکی از روش‌های به‌کارگیری توابع جریمه در رابطة (33) نشان داده شده است.

(33)

در این مسئله، تابع جریمه مطابق رابطة (34) تعریف‌ و با توجه به رابطة (22)، مقدار ثابت 100 برای تابع جریمه در نظر گرفته می‌شود (ینای^[lxix]، 2005).

(34)

15.           4- یافته‌ها

مدل ریاضی مسئله به ازای هر مقدار از پارامتر  ، 10 بار با الگوریتم‌های فراابتکاری ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری حل و بهترین پاسخ به ازای هر مقدار از پارامتر  ، انتخاب شده است. پس از حذف نقاط مغلوب[lxx]، مرز کارای حاصل‌شده از الگوریتم‌های مذکور، در شکل (4) ‌‌مشاهده می‌شود.

به‌منظور مقایسة عملکرد الگوریتم‌های فراابتکاری‌ بحث‌شده، در ادامه 6 شاخص معرفی‌ شده است که نتایج عملکرد الگوریتم‌ها در هر‌یک از این شاخص‌ها، در جدول (5)‌ مشاهده می‌شود. به‌منظور سهولت و درک بهتر، توابع هدف نیم‌واریانس و نیم‌آنتروپی مسئله مطابق رابطة (35) بازنویسی می‌شوند.

(35)

 

شکل 4- مرز کارای کشف‌شده ‌با الگوریتم‌های فراابتکاری ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری

Fig. 4- Efficient frontier resulted by GA, ICA and GWO algorithms

شاخص 1. میانگین فاصلة ایده‌آل: در این شاخص، میانگین فاصلة نقاط نامغلوب[lxxi] از بهترین جواب حاصل‌شده در بین تمامی الگوریتم‌ها، مطابق رابطة (36) محاسبه می‌شود.

(36)

در رابطة (36)،  برابر با تعداد نقاط پارتو و  ،  و  به ترتیب بهترین، بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار تابع هدف  ام در بین تمامی جواب‌ها و الگوریتم‌هاست. مقدار این شاخص هرچه کوچک‌تر باشد، بیانگر عملکرد بهتر الگوریتم مدنظر است (رحمتی و زندیه^[lxxii]، 2012).

 

شاخص 2. گسترش جواب‌های نامغلوب[lxxiii]: این شاخص، میزان تنوع جواب‌های نامغلوب را مطابق رابطة (37) اندازه‌گیری می‌کند. مقدار این شاخص هرچه بزرگ‌تر باشد، الگوریتم عملکرد بهتری دارد (کریمی و همکاران^[lxxiv]، 2010).

(37)

‌در این رابطه، مقدار  مطابق رابطة (38) محاسبه می‌شود.

(38)

که در آن، مقدار  ، مقدار تابع هدف  در نقطة  ام است.

 

شاخص 3. نرخ دستیابی هم‌زمان دو تابع هدف[lxxv]: این شاخص، نرخ دستیابی به بهترین جواب هر تابع هدف را برای نقاط مختلف، مطابق رابطة (39) محاسبه می‌کند. مقدار این شاخص هرچه کوچک‌تر باشد، بیانگر عملکرد بهتر الگوریتم مربوطه است (کریمی و همکاران، 2010).

(39)

 

شاخص 4. بیشترین گسترش[lxxvi]: این شاخص، گستردگی جواب‌های نامغلوب هر الگوریتم را مطابق رابطة (40) ‌ارزیابی می‌کند و‌ هرچه بزرگ‌تر باشد، الگوریتم عملکرد بهتری دارد (رحمتی و زندیه، 2012).

(40)

 

شاخص 5. مدت‌زمان اجرای الگوریتم[lxxvii]: این شاخص نیز یک شاخص مهم است و سرعت عملکرد الگوریتم‌ها را نمایش می‌دهد که به‌طبع‌ مقدار کوچک‌تر، بیانگر عملکرد بهتر الگوریتم مربوطه است.

 

شاخص 6. تعداد جواب‌های مغلوب: این شاخص، تعداد جواب‌های مغلوب تولید‌شده با هر الگوریتم را نشان می‌دهد. مقدار این شاخص هرچه کوچک‌تر باشد، الگوریتم عملکرد بهتری دارد.

 

                                                                                                                       i.             

                                       ii.            جدول 5- مقایسة عملکرد الگوریتم‌های گرگ‌های خاکستری، رقابت استعماری و ژنتیک

1. Table 5- Comparison of the performance of GWO, ICA and GA algorithms

نام الگوریتم	MID	SNS	RAS	MS	زمان اجرا (ثانیه)	تعداد جواب‌های مغلوب
گرگ‌های خاکستری	5853/0	3066/0	4298/0	1525/0	435	4
رقابت استعماری	5906/0	5739/0	3362/0	1532/0	1781	0
ژنتیک	5708/0	5664/0	3711/0	1590/0	3056	3

16.           5- بحث

17.           5-1- انتخاب سبد مناسب برای سرمایه‌گذار

به‌منظور انتخاب سبد مناسب برای سرمایه‌گذار، در گام اول لازم است بهترین الگوریتم از بین الگوریتم‌های فراابتکاری ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری، تعیین شود؛ از این رو، اعداد جدول (5) مطابق با روابط (41) و (42) نرمال می‌شوند که نتیجة آن در جدول (6)‌ قابل مشاهده است.

برای شاخص منفی؛		(41)
برای شاخص مثبت؛	(42)

                                                                                     i.            جدول 6- مقادیر نرمال‌شدة جدول (5)

1. Table 6- Normalized values of table (5)

نام الگوریتم	MID	SNS	RAS	MS	زمان اجرا (ثانیه)	تعداد جواب‌های مغلوب
گرگ‌های خاکستری	2670/0	0	0	0	000/1	0
رقابت استعماری	0	000/1	000/1	1032/0	4865/0	000/1
ژنتیک	000/1	9719/0	6271/0	000/1	0	2500/0

 

در این پژوهش به‌منظور کشف بهترین الگوریتم بر‌اساس جدول (6)، از استراتژی کمنی[lxxviii] (1959) استفاده می‌شود. این استراتژی را جان کمنی در سال 1959‌ معرفی‌ و گزینه‌ها را در تمام حالت‌های ممکن به‌صورت زوجی مقایسه کرد و به آنها امتیاز داد. در‌نهایت، ترکیبی که بالاترین امتیاز را دارد، ترکیب برتر معرفی می‌شود؛ برای مثال، برای امتیازدهی به ترکیب P>Q>R ، مجموع امتیازات ترکیب‌های P>Q ، P>R و Q>R لحاظ می‌شود. در جدول (7)، امتیازات تمام ترکیب‌های ممکن بین الگوریتم‌ها، محاسبه شده است.

                                                 ii.            جدول 7- بررسی ترکیب‌های مختلف از الگوریتم‌ها بر‌اساس استراتژی کمنی

1. Table 7- Scoring different combinations of algorithms based on Kemeny strategy

ترکیب	MID	SNS	RAS	MS	زمان اجرا (ثانیه)	تعداد جواب‌های مغلوب	جمع امتیازات
GWO>ICA>GA	1	1	1	0	3	1	7
GWO>GA>ICA	2	0	0	1	2	0	5
ICA>GWO>GA	0	2	2	1	2	2	9
ICA>GA>GWO	1	3	3	2	1	3	13
GA>GWO>ICA	3	1	1	2	1	1	9
GA>ICA>GWO	2	2	2	3	0	2	11

مطابق با جدول (7)، بالاترین امتیاز کسب‌شده مربوط به ترکیب ICA>GA>GWO است. به این ترتیب، بهترین عملکرد مربوط به الگوریتم رقابت استعماری و پس از آن، الگوریتم‌های ژنتیک و گرگ‌های خاکستری است.

با استناد به جواب‌های کارای تولید‌شده با الگوریتم رقابت استعماری، سبدهای مختلف پس از نرمال‌سازی مقادیر بازده و ریسک بر‌اساس رابطة (42)، به شرح جدول (8) ارائه می‌شود و‌ در اختیار سرمایه‌گذار قرار می‌گیرد. در این بین و با توجه به سطح ریسک‌پذیری سرمایه‌گذار در جدول (2)، سبد‌ 4 بهترین انتخاب برای این سرمایه‌گذار خواهد بود که توصیه به سرمایه‌گذاری در سهم خکاوه و همچنین پروژه‌های A‌ و C شده است.

                                                         iii.            جدول 8- سبدهای مختلف ارائه‌شده با الگوریتم رقابت استعماری

1. Table 8- Selected portfolios resulted by ICA algorithm

شمارة سبد	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
بازده	00/1	96/0	92/0	90/0	54/0	37/0	24/0	15/0	09/0	04/0	0
ریسک	00/1	70/0	38/0	36/0	13/0	06/0	03/0	01/0	0	0	0
سهم بوعلی	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
سهم دره‌آور	20,560	15,045	4,105	0	4,002	4,171	4,697	5,098	5,652	5,969	6,025
سهم شیران	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
سهم خکاوه	0	0	10,830	13,961	12,860	13,658	13,946	14,148	14,166	14,267	14,585
سهم ستران	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
پروژه A	19,440	19,438	19,434	19,425	16,105	14,593	13,478	12,651	12,085	11,670	11,288
پروژه B	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
پروژه C	0	5,517	5,631	6,614	7,034	7,579	7,878	8,103	8,097	8,094	8,102
کل سرمایه	40,000	40,000	40,000	40,000	40,001	40,001	39,999	40,000	40,000	40,000	40,000

18.           5-2- تحلیل شاخص نیم‌آنتروپی در مدل پیشنهادی

حضور نیم‌آنتروپی در مدل ریاضی، از دیگر نکات‌ بحث‌شدنی در این بخش است. حضور این شاخص به‌‌عنوان شاخص دوم اندازه‌گیری سطح ریسک، سبب ایجاد بده - بستان[lxxix] بین نیم‌واریانس و نیم‌آنتروپی می‌شود. به بیان دیگر، سبدهای ارائه‌شده در مدل حاضر نسبت‌به مدل مارکوئیتز (1952)، از نیم‌واریانس بالاتری برخوردارند که علت آن، ایجاد بده - بستان بین دو تابع هدف کمینه‌سازی، یعنی نیم‌واریانس و نیم‌آنتروپی است. به‌منظور درک بهتر از کارایی نیم‌آنتروپی، این‌بار مدل ریاضی حاضر در کنار مدل ریاضی مارکوئیتز (میانگین - نیم‌واریانس)‌ آزمایش شد. هر دو مدل با ضریب 1 برای تمام توابع هدف و با لحاظ‌کردن مفروضات سرمایه‌گذار به کمک الگوریتم انتخاب‌شده در بخش 5-1، در 100 تکرار حل شدند که نتیجة آن در جدول (9)‌ مشاهده می‌شود.

                                                                 i.            جدول 9- مقایسة نرخ بازده در مدل مارکوئیتز و مدل حاضر

1. Table 9- Comparing returns in the Markowitz model and the present model

شرح پارامتر (در 100 تکرار)	مدل مارکوئیتز (میانگین - نیم‌واریانس)	مدل حاضر (میانگین - نیم‌واریانس - نیم‌آنتروپی)
بهترین نرخ بازده در جواب بهینه	0147649/0	0154266/0
میانگین نرخ بازده	0143864/0	0154233/0
کمینة نرخ بازده	0132304/0	0153335/0
بیشینة نرخ بازده	0149770/0	0154781/0

جدول (9) درواقع بیان می‌کند که حضور نیم‌آنتروپی در مدل ریاضی مسئله، بهبود نسبتاً درخور توجهی را در نرخ بازده به وجود آورده است؛ به‌طوری که حتی بدترین نرخ بازده در 100 تکرار در مدل حاضر، تقریباً 4/2 درصد از بیشترین نرخ بازده در مدل مارکوئیتز (1952)، بیشتر است.

19.           6- نتیجه‌گیری و پیشنهادها

امروزه به‌سبب گسترش حوزه‌های سرمایه‌گذاری، سرمایه‌گذاران در صدد آن‌اند که علاوه بر بازارهای مالی سنتی، بخشی از سبد خود را به بخش‌های دیگر، از‌جمله پروژه‌ها تخصیص دهند. به همین سبب در این پژوهش، سبد ترکیبی پروژه و سهام براساس مدل میانگین – نیم‌واریانس – نیم‌آنتروپی‌ بهینه‌سازی‌ شد. پس از طراحی مدل مربوطه، به‌منظور اعتبارسنجی نتایج آن، یک مثال عددی ارائه شد که با توجه به پیچیدگی زیاد مسئله، حل آن با کمک سه الگوریتم فراابتکاری شامل ژنتیک، رقابت استعماری و گرگ‌های خاکستری انجام و نتایج آن مقایسه شد. نتایج حاصل نشان می‌دهند که با وجود سرعت بالای الگوریتم گرگ‌های خاکستری، جواب‌های ارائه‌شده با این الگوریتم در مقایسه با الگوریتم ژنتیک و رقابت استعماری، چندان مناسب نیست. از سوی دیگر، سرعت مناسب و همچنین ‌وجود نداشتن نقاط مغلوب در بین پاسخ‌ها، از برتری‌های الگوریتم رقابت استعماری نسبت‌به الگوریتم ژنتیک بوده است. برآیند شاخص‌های ارزیابی مختلف‌ استفاده‌شده نشان داد که الگوریتم رقابت استعماری در این مسئله، عملکرد بهتری نسبت‌به الگوریتم‌های ژنتیک و گرگ‌های خاکستری داشته است.

در‌نهایت‌ با توجه به خواسته‌های یک سرمایه‌گذار فرضی، مناسب‌ترین گزینه در بین سبدهای ارائه‌شده با الگوریتم برگزیده (رقابت استعماری) برای او انتخاب شد. همان‌طور که در این سبدهای ارائه‌شده مشاهده می‌شود، سهم شیران به‌سبب داشتن بازده منفی، جایگاهی در هیچ‌کدام از سبدهای ارائه‌شده ندارد. همچنین با توجه به حضور پروژۀ A در تمامی سبدها، این‌طور برداشت می‌شود که احتمالاً این پروژه، تناسب بازده و ریسک مناسبی دارد، اما کاهش وزن آن در سبدهای کم‌ریسک، حاکی از آن است که احتمالاً این پروژه در دستۀ پروژه‌های پرریسک قرار دارد.

از سوی دیگر، مثال عددی نشان داد که حضور نیم‌آنتروپی به‌عنوان شاخص اندازه‌گیری سطح ریسک سبد سرمایه‌گذاری، یک شاخص کاملاً مناسب بوده است؛ زیرا بازده سبد سرمایه‌گذاری را به اندازة درخور توجهی، بهبود داده است.

رویکرد پیشنهادی این مقاله از سوی طیف وسیعی از سرمایه‌گذاران و مدیران واحدهای مختلف سرمایه‌گذاری در مؤسسات مختلف‌ قابل استفاده خواهد بود.

به‌جهت پیشنهاد برای تحقیقات آتی، به مواردی همچون در نظر گرفتن هم‌افزایی بین پروژه‌ها، در نظر گرفتن پروژه‌ها با دورة اجرای طولانی، در نظر گرفتن ساختار چند‌دوره‌ای و افزودن محدودیت مربوط به انتخاب تعداد خاصی از پروژه و سهام به تفکیک، در مدل ریاضی اشاره می‌شود.

 

[i] Harper et al.

[ii] Bae & Karolyi

[iii] Ghanbari et al.

[iv] Markowitz

[v] Modern Portfolio Theory (MPT)

[vi] Abzari et al.

[vii] Downside risk

[viii] Semi-Variance

[ix] Raei & Saeedi

[x] Klebaner et al.

[xi] Raei et al.

[xii] Harmony Search

[xiii] Davoudifar

[xiv] Particle Swarm Optimization (PSO)

[xv] Genetic Algorithm (GA)

[xvi] Firefly Algorithm (FA)

[xvii] Zhou et al.

[xviii] Lu et al.

[xix] Semi-Entropy

[xx] Chang et al.

[xxi] Fernandez & Gómez

[xxii] Kalayci et al.

[xxiii] Tuba & Bacanin

[xxiv] Artificial Bee Colony (ABC)

[xxv] Strumberger et al.

[xxvi] Wei & Ye

[xxvii] Conditional Value at Risk (CVaR)

[xxviii] Soleimani et al.

[xxix] Jalota & Thakur

[xxx] Mirabi & Zarei Mahmoudabadi

[xxxi] Lion Optimization Algorithm (LOA)

[xxxii] Sajadi

[xxxiii] Imperialist Competitive Algorithm (ICA)

[xxxiv] Karimi & Goodarzi Dahrizi

[xxxv] Grey Wolves Optimization (GWO)

[xxxvi] Mirjalili et al.

[xxxvii] Zainal & Mustaffa

[xxxviii] Setiawan

[xxxix] Cuckoo Search Optimization (CSO)

[xl] Moth Flame Optimization (MFO)

[xli] Grasshopper Optimization (GO)

[xlii] Dragonfly Optimization (DO)

[xliii] Imran et al.

[xliv] Bombay

[xlv] Sharpe’s ratio

[xlvi] Sakalauskas

[xlvii] S&P500 index

[xlviii] Mostafayi Darmian & Doaei

[xlix] Hong et al.

[l] Jaya

[li] Rao

[lii] Khakbiz et al.

[liii] Cost plus

[liv] Not a Number (NaN)

[lv] Liu

[lvi] Liu & Liu

[lvii] Pearson linear correlation coefficient

[lviii] MATLAB

[lix] www.tsetmc.com

[lx] Candlesticks

[lxi] Taguchi

[lxii] Roy

[lxiii] Signal Noise Ratio (SNR)

[lxiv] Minitab

[lxv] Mean Ideal Distance (MID⁾

[lxvi] Smaller-the-Better

[lxvii] Deb

[lxviii] Penalty functions

[lxix] Yeniay

[lxx] Dominated

[lxxi] Non-dominated

[lxxii] Rahmati & Zandieh

[lxxiii] Spread of Non-dominated Solutions (SNS)

[lxxiv] Karimi et al.

[lxxv] Rate of Achievement to two objectives Simultaneously (RAS)

[lxxvi] Maximum Spread (MS)

[lxxvii] CPU Time

[lxxviii] Kemeny

[lxxix] Trade-off

تعداد مشاهده مقاله: 359

تعداد دریافت فایل اصل مقاله: 165