خطای قیمت‌گذاری اختیار معامله: شواهدی از بازارهای غیرخطی مبتنی بر شبکه‌های عصبی احتمالی و پرسپترون چندلایه

مقدمه

وجود ریسک در بازارها سبب شده است تا مهندسین مالی برای مدیریت و کاهش ریسک ابزارهای مالی جدیدی ایجاد کنند و ابزارهای قبلی را نیز توسعه دهند (Cuthbertson & Nitzsche, 2001). یکی از این ابزارها قراردادهای آتی اختیار معامله است. اختیار معامله، قراردادی است که اختیار انجام معامله‌ خرید یا فروش را به خریدار آن می‌دهد. شرایط این معامله که در آینده انجام می‌شود در زمان حال تعیین می‌شود و از آنجایی که قیمت‌گذاری این قرارداد براساس قیمت دارایی پایه انجام می‌شود به آن ابزار مشتقه نیز می‌گویند. به قیمت توافق شده در هنگام عقد قرارداد برای خرید یا فروش دارایی پایه، قیمت اعمال[1] و به تاریخ تعیین شده برای انجام معامله، تاریخ انقضا[2] گویند (دسترنج و همکاران، 1399؛ Hull et al., 2017).

اختیار معامله به دو دستۀ اختیار خرید و فروش تقسیم می‌شود. خریدار اختیار خرید اختیار آن را دارد که در تاریخ انقضای قرارداد دارایی پایه را به قیمت توافق‌شده بخرد یا نخرد و خریدار اختیار فروش این اختیار را دارد که دارایی پایه را بفروشد یا نفروشد. فروشندۀ اختیار خرید یا فروش اختیاری برای انجام معامله ندارد و متعهد است که تحت هر شرایطی این معامله را بنابه درخواست خریدار انجام دهد. اختیار معامله براساسِ دارایی پایه به اختیار معامله روی سهام، کالا، شاخص و... تقسیم می‌شود. اختیار معامله ازنظرِ اعمال قرارداد مدل‌های مختلفی دارد، مانند اختیار معاملۀ اروپایی، آمریکایی، اسپرد و... . اختیار اروپایی مدلی از اختیار است که خریدار آن تنها می‌تواند در لحظۀ توافق‌شده در آینده معامله را اجرا کند نه زودتر یا دیرتر از زمان مقرر (تهرانی و همکاران، 1399؛ Hull et al., 2017).

معامله‌گری در بازارهای مالی یک بازی مجموع صفر است (Bjork, 2020)؛ یعنی مجموع سود و زیان معامله‌گران برابر است با صفر. در هر معامله کسب سود یک طرف به معنای ضرر طرف مقابل است. اختیار معامله با هدف مدیریت ریسک و برای کنترل و جلوگیری از زیان ایجاد شده است. در معامله برای جلوگیری از زیان نباید فرصت کسب سود به معامله‌گران دیگر داده شود. برای از بین رفتن این سود و زیان‌ها قیمت‌گذاری اختیار باید عادلانه باشد. به‌عبارتی قیمت به‌گونه‌ای تعیین شود که هیچ‌کدام از طرفین معامله ضرر نکنند.

بلک و شولز موفق شدند بازار را با معادلۀ دیفرانسیلی تصادفی مدل‌سازی کنند و با آن به قیمت‌گذاری بپردازند (Black & Scholes, 1973). با ارائۀ مدل بلک‌ـ‌شولز (Black & Scholes, 1973) تحولی در بازار ایجاد شد؛ اما وجود فرض‌هایی برای این مدل باعث شد که پس از مدتی کارایی خود را از دست بدهد. برای رفع ناکارآمدی این مدل، مدل‌های جدیدی ارائه شده است که به واقعیت بازار نزدیک‌تر هستند. مدل‌های بازار را می‌توان به دسته‌های مختلفی تقسیم کرد. بعضی از مدل‌ها با الگوبرداری از مدل بلک‌ـ‌شولز(1973) هزینه‌های معاملاتی را در قیمت‌گذاری لحاظ کردند. برخی دیگر نرخ بهره را ثابت فرض نکردند و مدل‌هایی تلاطم بازار را تصادفی درنظر گرفتند.

در بازارهای مالی معامله‌گران بزرگ با حجم‌های معاملاتی بالا تا حدودی روند و مدل بازار را مشخص می‌کنند. تمام این معامله‌گران از یک مدل استفاده نمی‌کنند؛ بنابراین، در هر دوره بازار به یک مدل شباهت بیشتری دارد. با اهمیت یافتن قیمت‌گذاری اختیار معامله و پیروی بازار از چندین مدل در یک دورۀ زمانی، شبکه‌های عصبی می‌توانند مشخص کنند بازار به کدام یک از این مدل‌های قیمت‌گذاری نزدیک‌تر است.

یکی از قابلیت‌های انسان آموزش دیدن و استفاده از آموزش‌ها در تصمیمات خود است. ازاین‌رو، پژوهش‌گران با پژوهش روی سلول‌های عصبی مغز، اقدام به ساخت ابزاری کردند که با آموزش دیدن و کسب تجربه بتواند در تصمیم‌گیری‌ها به آنها کمک کند و خطا‌های آنها را کاهش دهد. با انجام پژوهش‌ها روی این ایده، سرانجام اولین مدل از شبکه‌های عصبی مصنوعی ایجاد شد که قابلیت آموزش دیدن و یادگیری داشت. از شبکه‌های عصبی در تشخیص دست خط، سرطان، پیش‌بینی برخی پدیده‌ها و... استفاده می‌شود. با پیشرفت علم و افزایش نیاز به کاربردهای مختلفی از شبکه‌های عصبی، مدل‌های جدیدی به وجود آمدند که دقت و سرعت یادگیری بالاتر و کاربردهای متنوع‌تری نسبت‌به مدل‌های اولیه ارائه می‌دهند (Hagan et al., 1997).

در این پژوهش از دو مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر (Barles & Soner, 1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (Bakstein & Howison, 2003) استفاده شده است. این دو مدل با احتساب هزینه‌های معاملاتی، نسبت‌به مدل بلک‌ـ‌شولز به واقعیت بازار نزدیک‌تر شده‌اند. تحت دو مدل ذکرشده با کمک گروه‌ها و تقارن‌های لی قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اروپایی انجام شده است. در این روش با کاهش مرتبه معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادلۀ دیفرانسیل معمولی، که حل‌شدنی است، تبدیل شده است. اختیار معاملۀ اروپایی مدلی از اختیار است که تا لحظۀ سررسید قرارداد نمی‌توان آن را اعمال کرد. بعد از قیمت‌گذاری، با کمک شبکه‌های عصبی به دسته‌بندی داده‌های قیمتی به‌دست‌آمده پرداخته شده است. در این مقاله از شبکه‌های عصبی احتمالی[3] (Specht, 1990) و پرسپترون چند‌لایه[4] برای دسته‌بندی داده‌های قیمتی استفاده شده است. شبکۀ عصبی پرسپترون که یکی از پرکاربردترین شبکه‌های ایجادشده در اواخر دهۀ 1950 است. برای پیش‌بینی، تخمین تابع و دسته‌بندی استفاده می‌شود. این شبکه محدودیت‌هایی داشت که در دهۀ 1980 با ارائۀ شبکۀ پرسپترون چندلایه برطرف شد (Hagan et al., 1997). شبکۀ عصبی احتمالی یک شبکۀ عصبی است که مختص دسته‌بندی داده‌ها است. یکی از مزیت‌های شبکۀ عصبی احتمالی این است که نیاز به آموزش ندارد. این مزیت باعث بالا رفتن سرعت‌عمل شبکه می‌شود. پس از قیمت‌گذاری بازار با دو مدل غیرخطی بلک‌ـ‌شولز جواب‌های آن با شبکه‌های عصبی دسته‌بندی شده است و پیش‌بینی شده که بازار به کدام مدل نزدیک‌تر است.

در ادامه و در بخش اول، بعد از معرفی دو مدل بلک‌ـ‌شولز غیرخطی مفاهیم اولیه و مبانی نظری گروه‌های لی و شبکه‌های عصبی احتمالی و پرسپترون بیان شده است. در بخش دوم، روش به‌کار رفته در پژوهش توضیح داده شده است. در این بخش بعد از پیدا شدن جواب‌های دقیق معادلات بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) اختیار معاملۀ اروپایی شاخص S&P500 قیمت‌گذاری شده است. یافته‌های به‌دست‌آمده از این قیمت‌گذاری در بخش بعد ارائه و درنهایت نتایج به‌دست‌آمده در این پژوهش بیان شده است.

مبانی نظری

برای قیمت‌گذاری بازار از دو مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) استفاده شده است‌. بارلز و سونر با پیروی از رویکرد تابع سودمندی هاجز (Hodges, 1989)، که دیویس و همکاران آن را توسعه دادند (Davis et al., 1993)، از یک تابع مطلوب نمایی استفاده و با استفاده از نظریۀ کنترل بهینه تصادفی ثابت کردند (Fleming & Soner, 1993) که وقتی و  به  بروند،  جواب منحصربه‌فرد زیر را دارد.

که در آن  قیمت دارایی پایه،  نرخ بهرۀ بدون ریسک،  تلاطم بازار،  زمان باقی‌مانده تا سررسید،  زمان سررسید،  و  نشان‌دهندۀ هزینۀ تراکنش رفت و برگشت به‌ازای هر واحد دلار معامله‌شده است و برای مقادیر بزرگ ، . بنابراین،

(Ankudinova & Ehrhardt, 2008) و معادلۀ مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر(1998) به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

معادلۀ مدل باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) با پارامتر نقدینگی  و متغیرهای مشابه معادلۀ بارلزـ‌سونر(1998) به‌صورت زیر است:

اهمیت قیمت‌گذاری صحیح اختیار معامله سبب شده است که پژوهش‌های زیادی مانند مهردوست (Mehrdoust et al., 2022) و سامیمیا (Samimia & Mehrdoust, 2022) دراین‌باره انجام شود. در این مقاله از روش‌های گروه‌های لی و شبکه‌های عصبی استفاده شده است. گروه‌ها و تقارن‌های لی یک روش هندسی برای پیدا کردن جواب‌های دقیق معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی هستند. در مقالات نادری‌فرد (Naderifard et al., 2018) و حبیبی (Habibi  et al., 2019) از گروه ها و تقارن‌های لی برای یافتن جواب‌های دقیق و حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده شده است.

از شبکه‌های عصبی برای دسته‌بندی داده‌های به‌دست‌آمده از جواب‌های دقیق تقارن‌های لی استفاده شده است. به‌طور‌کلی، شبکه‌های عصبی از سه لایه تشکیل می‌شوند. سه لایۀ اصلی تمامی مدل‌ها لایۀ ورودی، پنهان و خروجی هستند. لایۀ پنهان در بعضی از مدل‌ها به چند لایه تقسیم می‌شود. هر لایه چند گره دارد که تعداد آنها در لایۀ پنهان با آزمون و خطا بررسی می‌شود. تعداد کم گره‌ها دقت شبکه را پایین می‌آورد و تعداد زیاد آنها زمان یادگیری را بالا می‌برد و هزینه‌های شبکه را افزایش می‌دهد. تمامی گره‌های هر لایه با لایه بعد و قبل خود در ارتباط است. این ارتباط را وزن‌هایی برقرار می‌کنند که در خروجی‌های لایۀ قبل ضرب شده‌اند و حاصل آن ورودی لایۀ فعلی خواهد بود. خروجی هر لایه به‌نسبت وزن‌های ارتباطی بین گره‌های لایۀ فعلی تقسیم می‌شوند.

مهمترین فرآیند در شبکۀ عصبی یادگیری و آموزش شبکه است. هدف از یادگیری شبکه تعیین درست وزن‌ها است، به‌گونه‌ای که خروجی شبکه به‌مقدار واقعی خروجی نزدیک‌تر شود و شبکه به حداقل خطای خروجی برسد (Hagan et al., 1997).

دسته‌بندی داده‌ها یکی از کاربردهای مهم و اصلی شبکه‌های عصبی است. در تان (Tan et al., 2022) به‌دلیل سخت بودن تشخیص خرابی نشت گاز با شبکه‌های عصبی احتمالی به دسته‌بندی خطای حسگر نشت گاز پرداخته شده است. پیش‌بینی دقیق کاهش ظرفیت باتری برای مدیریت سلامت باتری حیاتی است. در چه (Che et al., 2022) با شبکه‌های عصبی روش جدیدی برای بالا بردن دقت پیش‌بینی سلامت باتری پیشنهاد شده است. در این پژوهش علاوه‌بر شبکۀ عصبی احتمالی، شبکه پرسپترون چندلایه نیز استفاده شده است. در طلعتیان آزاد (Talatian et al., 2022) روشی مؤثر برای تشخیص سرطان بیان شده است. در روش معرفی‌شده با شبکۀ عصبی پرسپترون چندلایه، داده‌های پزشکی و اطلاعات مرتبط به سرطان طبقه‌بندی شده است. بعد از پیدا شدن جواب‌های دقیق معادلات بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003)، اختیار معاملۀ اروپایی شاخص S&P500 قیمت‌گذاری شده است. پیش از این در بهنداری (Bhandari et al., 2022) با شبکۀ عصبی LSTM به پیش‌بینی قیمت پایانی شاخص S&P500 پرداخته شده است. در این مقاله نشان داده شده است که شبکۀ عصبی LSTM [5] تک‌لایه پیش‌بینی قوی‌تری نسبت‌به شبکه LSTM چندلایه دارد.

روش پژوهش

در این بخش ابتدا با استفاده از گروه‌های لی تحت معادلات غیرخطی بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اروپایی شاخص S&P500 انجام و جواب‌های دقیق آنها بیان شده است. سپس شبکه‌های عصبی پرسپترون و احتمالی توضیح داده شده‌اند. برای یافتن جواب‌های دقیق قیمت‌گذاری از گروه‌ها و تقارن‌های لی استفاده شده است. در این روش با کاهش مرتبه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل شده است. در ابتدا سیستم معادلۀ دیفرانسیلی از مرتبۀ  با متغیر مستقل ،  و متغیر وابسته ،  به‌صورت زیر فرض شده است:

که در آن . تبدیلات بی‌نهایت کوچک لی برای معادلۀ دیفرانسیل فرض‌شده به‌صورت زیر است (Olver & Rosenau, 1987):

که سیستم معادلات را به  تغییر نمی‌دهد و مشتقات مرتبۀ اول و دوم آن ب‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

که در آن

و

مربوط به تبدیل متعارف لی است که در آن  و . نماد  نشان‌دهندۀ مشتق کلی عملگر نسبت‌به  است که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود (Bluman et al., 2010):

برای آنکه تبدیلات (7) سیستم معادلات دیفرانسیل مفروض را به  تغییر ندهد، باید رابطۀ زیر برقرار باشد:

که در آن

امتدادیافتۀ میدان برداری

برای تبدیلات بی‌نهایت کوچک (7) است. نماد  نشان‌دهندۀ مشتق لی  نسبت‌به میدان برداری  است. برای حل معادله با تقارن‌های لی باید پارامترهای معادله کاهش داده شود. برای این کار، پس از پیدا شدن میدان‌های برداری باید ناورداهای[6] آنها حساب شود. برای محاسبۀ ناوردای میدان برداری (14) باید دستگاه مشخصۀ زیر حل شود (Dastranj & Hejazi, 2017):

برخی از میدان‌های برداری جواب مطلوبی برای معادلۀ دیفرانسیل پیدا نمی‌کند. به همین دلیل، با شار[7] دادن آن میدان برداری و قرار دادن آن در یکی از جواب‌های مطلوب پیداشده می‌توان جوابی جدید برای معادله پیدا کرد. اگر مولد گروه لی پیدا شود، به‌کمک سری تیلور تابع  می‌توان گروه تبدیلات جدیدی با شار دادن میدان‌های برداری ساخت که به آن گروه تبدیلات تک‌ـ‌پارامتری می‌گویند. این گروه تبدیلات به‌صورت زیر فرض می‌شود:

که در آن

و (Olver, 1993)

معادلۀ بارلزـ‌سونر(1998) با متغیر مستقل ،  و متغیر وابستۀ  تبدیلات بی‌نهایت کوچک زیر را دارد.

و

باتوجه‌به آنکه معادلۀ دیفرانسیل (4) از مرتبۀ 2 است، میدان برداری آن نیز تا مرتبۀ دوم امتداد پیدا می‌کند. میدان برداری امتدادیافتۀ تبدیلات (19-21) به‌صورت زیر است:

که در آن

و

میدان برداری امتدادیافتۀ مرتبۀ دوم معادلۀ (4) برابر است با:

که

و ، ، ،  و  ثابت‌های دلخواه هستند. با استفاده از رابطۀ (12) مولدهای بی‌نهایت کوچک گروه لی معادلۀ بارلزـ‌سونر (1998) به دست آمده است که برابر است با:

برای محاسبۀ جواب‌های دقیق معادلۀ قیمت‌گذاری دیفرانسیل بارلزـ‌سونر (1998) با گروه‌های لی باید ناورداهای میدان‌های برداری را، که مولد گروه لی این معادله هستند، محاسبه کرد و پس از جای‌گذاری آنها در معادله تعداد پارامترهای آن را کاهش داد. کاهش پارامتر معمولاً معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات جزئی را به معادلۀ دیفرانسیل معمولی تبدیل می‌کند. اگر پس از کاهش پارامتر معادلۀ مفروض به معادلۀ دیفرانسیل معمولی تبدیل نشود، بار دیگر فرآیند کاهش پارامتر اعمال می شود. این روند تا جایی تکرار می‌شود که معادلۀ کاهش‌یافته حل‌شدنی شود.

1. برای مولد ناوردای تبدیلات عبارتند از  و . با جای‌گذاری ناوردا‌ها در معادلۀ (4) و کاهش پارامتر‌های آن، معادله به‌صورت یک معادلۀ دیفرانسیل معمولی کاهش می‌یابد:

با حل این معادله و بازگرداندن متغیر‌های اصلی، جواب معادله به‌صورت  است که در آن  ضریب انتگرال‌گیری است. مابقی مولد‌های گروه لی جواب مطلوبی ازطریقِ محاسبۀ ناوردا‌ها ارائه نمی‌دهند. اما با استفاده از گروه‌های یک‌پارامتری (شار) می‌توان جواب جدیدی برای (4) پیدا کرد.

2. گروه یک پارامتری برای مولد به‌صورت  است که

با جای‌گذاری در ، می‌توان نوشت:

میدان برداری امتدادیافته تا مرتبۀ دوم معادلۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) برابر است با:

ضرایب میدان برداری فوق با کمک روابط (25-29) برای

به دست آمده است. به‌طور مشابه، با مدل بارلزـ‌سونر (1998) مولدهای گروه لی معادله باکستین‌ـ‌هاویسون(2003)، برابر است با:

پس از کاهش پارامتر‌های معادله (5) جواب‌های دقیق زیر را به دست آمده است:

1. از مولد ناورداهای ،  و  محاسبه شده است. با جای‌گذاری ناورداها،

با حل این معادله و بازگرداندن متغیرهای اصلی، .

با شار دادن مولدها، مولدهای گروه تک‌پارامتری محاسبه شده است. با این گروه جواب جدیدی برای معادلۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) ارائه شده.

2. گروه یک‌پارامتری برای مولد ، ، عبارت است از:

با جای‌گذاری این شار در جواب قبلی، جواب جدید زیر به دست آمده است:

پس از قیمت‌گذاری اختیار تحت مدل بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003)، با کمک شبکه‌های عصبی بررسی شده است که بازار واقعی به کدام مدل نزدیک‌تر است. برای این کار از شبکۀ عصبی پرسپترون چندلایه (MLP) و احتمالی (PNN) استفاده شده است. شبکۀ عصبی پرسپترون برای طبقه‌بندی و پیش‌بینی داده‌ها استفاده می‌شود. در این شبکه خروجی هر لایه ورودی لایۀ بعد است. این ورودی‌ها در وزن‌های ارتباطی بین گره‌های لایۀ فعلی و لایۀ ماقبل آن ضرب و سپس بین گره‌ها تقسیم می‌شود. حاصل‌ضرب ورودی‌ها در وزن‌ها وارد تابع فعال‌ساز شبکه می‌شود. تابع فعال‌ساز داده‌هایی را که در دامنه‌اش قرار ندارد، از فرآیند آموزش حذف می‌کند و مابقی داده‌های شبکه را آموزش می‌دهد. آموزش شبکه به معنای به‌روز شدن وزن‌های مابین لایه‌ها است. در الگوریتم نظارت‌شده ورودی‌ها با خروجی‌های آنها برای آموزش و به‌روزرسانی وزن‌ها به شبکه ارائه می‌شود. با کمک گرادیان کاهشی تابع خطای خروجی شبکه مینیمم‌سازی و باتوجه‌به وزن‌ها شبکه به‌روزرسانی می‌شود تا خطای شبکه به حداقل برسد (Zhang & Lou, 2021). خروجی‌های لایه‌ها در این شبکه به‌صورت زیر هستند:

در این رابطه با فرض آنکه ، تعداد گره‌های لایه  و ، تعداد گره‌های لایۀ بعدی است،  خروجی لایۀ ، و  وزن بین لایۀ  و لایۀ ماقبل‌آن است. در این رابطه تابع فعال‌ساز و سوگیری لایۀ  به‌ترتیب با  و  نمایش داده می‌شود (Popescu et al., 2009). در این پژوهش شبکۀ پرسپترون چهارلایه با دو لایۀ پنهان استفاده و تابع فعال‌ساز Elu، که تعمیم‌یافتۀ تابع Relu است، برای هر دو لایۀ پنهان به کار گرفته شده است. این دو لایۀ پنهان به‌ترتیب  و  گره دارد. عملکرد یادگیری این شبکه در شکل (1) نمایش داده شده است. در این شبکه پس از حدود 400 تکرار (انجام فرآیند پس‌انتشار) به‌دلیل ثابت ماندن و کاهش نیافتن خطا فرآیند آموزش شبکه متوقف شده است.

شکل (1) عملکرد یادگیری شبکۀ عصبی پرسپترون چندلایه

Figure (1) Learning performance of multilayer Perceptron neural network

علاوه‌بر شبکۀ پرسپترون از شبکۀ عصبی احتمالی نیز استفاده شده است. شبکه‌های عصبی احتمالی برای مسائل مرتبط با دسته‌بندی داده‌ها کاربرد دارند. در مدل استاندارد شبکۀ عصبی احتمالی شبکه آموزش داده نمی‌شود و این یکی از مزیت‌های شبکۀ عصبی احتمالی است (Hagan et al., 1997). شبکه‌های عصبی سه لایۀ اصلیِ ورودی، پنهان و خروجی دارند. در این مدل لایۀ اول لایۀ ورودی است که داده‌های جدید را دریافت می‌کند؛ لایۀ دوم از دو لایۀ الگو و تجمیع تشکیل می‌شود. خروجی گره  از لایۀ الگو با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

در این رابطه  ابعاد بردار الگوی ، که از لایۀ ورودی وارد لایۀ الگو می‌شود، و  انحراف‌معیار تابع توزیع نرمال است. در لایۀ تجمیع به‌کمک رابطۀ (48) فواصل نمایی محاسبه‌شده برای هر نمونۀ  در دستۀ  ام باهم جمع و بر تعداد کل آنها تقسیم می‌شود و یک مقدار جدید تحویل می‌دهد. در لایۀ آخر، تابع انتقال رقابتی حداکثر مقدار احتمال از بردار احتمالی تولیدشده را مشخص می‌کند و دادۀ ورودی را در آن دسته قرار می‌دهد.

 تعداد نمونه‌های آموزشی مربوط به طبقۀ  ام است. در شکل (2) لایه‌های شبکۀ عصبی احتمالی نمایش داده شده است (Mao et al., 2000; Specht, 1990):

شکل (2) نمای کلی شبکۀ عصبی احتمالی (Mao et al., 2000)

Figure (2) Overview of the Probabilistic neural network

نمونۀ آماری

در این مقاله اختیار معاملۀ S&P500 به روش گروه‌ها و تقارن‌های لی قیمت‌گذاری شده است. قیمت توافقی  دلار و تاریخ انقضا یک‌ساله از  آگوست  تا  آگوست  درنظر گرفته شده است. داده‌های آماری شامل اطلاعات شاخص S&P500 و اختیار معامله‌های این شاخص است که به‌ترتیب از investing.com و barchart.com استخراج شده‌اند. این داده‌ها یک دورۀ 251روزه را شامل شده است‌. برای قیمت‌گذاری از رابطه‌های (37) و (45) استفاده شده است. متغیرهای پژوهش در جدول (1) به‌شرح زیر هستند:

جدول (1) نحوۀ محاسبۀ پارامترهای روابط (37) و (45)

Table (1) How to calculate the parameters of relationships (37) and (45)

یافته‌ها

در شکل (3) نتایج قیمت‌گذاری با رابطه‌های (37) و (45) ارائه شده است. معادلۀ (37) با شار دادن معادلۀ  به دست آمده است. چون ، جواب مدل بارلزـ‌سونر (1998) وابستگی بیشتری به زمان دارد و معادلۀ (45)، که با شار دادن معادله  به دست آمده است، وابستگی بیشتری به قیمت دارد که این وابستگی در شکل (4) به‌وضوح دیده می‌شود.

شکل (3) قیمت‌گذاری اختیار معامله S&P500 برای ، ، ،  و

Figure (3) S&P500 option pricing for , , , , and

شکل (4) مقایسۀ شاخص S&P500 با معادلۀ (45)

Figure (4) Comparing the S&P500 index with equation (45)

وزن لایه‌های شبکۀ عصبی با جواب‌های به‌دست‌آمده از دو معادلۀ پیش‌گفته تعیین شده است. در شکل (5) داده‌های آموزشی شبکۀ عصبی آمده است که در دو دسته طبقه‌بندی شده‌اند. داده‌های قرمز جواب‌های معادلۀ بارلزـ‌سونر (1998) و داده‌های آبی جواب‌های معادلۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) هستند. از این شبکه برای پیش‌بینی مدل بازار استفاده شده است. برای این کار چند داده از  آگوست  به بعد انتخاب شده است. در ابتدا این داده‌ها با هر دو مدل بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قیمت‌گذاری و سپس شبکۀ عصبی با این داده‌ها آزموده که نتیجۀ مقایسۀ آن در جدول (2) ارائه شده است.

شکل (5) طبقه‌بندی داده های آموزشی

Figure (5) Classification of training data

جدول (2) پیش‌بینی مدل بازار با مقایسۀ قیمت‌گذاری جبرلی، شبکۀ عصبی احتمالی و پرسپترون چند‌لایه

Table (2) Market model prediction by comparing Lie algebra pricing, Probabilistic neural network, and multilayer Perceptron

در جدول (2)،  شاخص S&P500 و  زمان باقی مانده تا سررسید اختیار معامله است. با استفاده از معادلۀ (37) و برای مقادیر  و  ارائه‌شده در جدول (2)، تحت مدل بارلزـ‌سونر (1998) قیمت‌گذاری انجام شده که نتیجۀ آن در ستون مربوط به بارلزـ‌سونر (1998) ارائه شده است. در ستون مربوط به باکستین‌ـ‌هاویسون جواب‌های قیمت‌گذاری تحت مدل باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) شرح داده شده است. درنهایت، اختلاف جواب‌ها تحت دو مدل مذکور با قیمت‌های واقعی بازار مقایسه شده‌اند و نتایج آن در ستون مربوط به جبرلی ارائه شده‌اند. زمانی‌که قیمت بارلزـ‌سونر (1998) به قیمت بازار نزدیک‌تر است، در ستون جبرلی صفر و درصورتِ نزدیک بودن قیمت باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) به آن، عدد یک قرار داده شده است. در ستون‌های PNN و MLP به‌ترتیب نتایج شبکه‌های عصبی احتمالی و پرسپترون چندلایه ذکر شده‌اند. در این دو ستون عدد یک در جدول نشان‌گر این است که داده در دستۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قرار دارد و عدد صفر برای نشان دادن تعلق داده به دستۀ بارلزـ‌سونر (1998) به کار گرفته شده است.

نتبجه‌گیری و پیشنهادها

ابتدا به‌کمک گروه‌ها و تقارن‌های لی، تحت دو مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اروپایی انجام شده است. بعد از قیمت‌گذاری شاخص S&P500 در بازۀ  آگوست  تا  آگوست ، شبکۀ عصبی احتمالی و پرسپترون چندلایه آموزش داده و داده‌ها در دو کلاس بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون(2003) دسته‌بندی شده‌اند. سپس برای یافتن نزدیک‌ترین مدل به بازار واقعی، شبکه با  داده آزموده شده است. علاوه‌براین، جواب‌های به‌دست‌آمده از جبرلی با داده‌های آزمون قیمت‌گذاری و اختلاف‌های آنها از داده‌های واقعی محاسبه شده است تا مشخص شود که داده‌های واقعی به کدام جواب نزدیک‌تر هستند. شبکۀ عصبی پرسپترون  داده از  داده را متعلق به مدل بارلزـ‌سونر (1998) دانست و شبکۀ عصبی احتمالی تمامی  داده را در دستۀ بارلزـ‌سونر (1998) قرار داد. در محاسبۀ اختلاف جواب‌های گروه‌های لی با قیمت واقعی بازار،  داده از  داده به مدل بارلزـ‌سونر (1998) نزدیک‌تر بودند. بنابراین، طبق نتایج به‌دست‌آمده، بازار اختیار معاملۀ S&P500 با سررسید یک‌ساله و قیمت توافقی  دلار به مدل بارلزـ‌سونر (1998) نزدیک‌تر بوده است.

[1] Exercise Price

[2] Exercise Date

[3] Probabilistic Neural Network

[4] Multilayer Perceptron Neural Network

[5] Long-Short-Term Memory

[6] Invariant

[7] Flow