1- مقدمه[1]

در هر کشوری، سیستم‌های قدرت الکتریکی مهم‌ترین منابع تولید انرژی به‌ حساب می‌آیند؛ ولی رشد روزافزون مصرف انرژی الکتریکی و تقاضا برای این کالا سبب شده است پیچیدگی شبکه‌های سراسری برق نیز افزوده شود. امروزه یکی از مهم‌ترین مسائل در بهره‌برداری سیستم‌های قدرت، توزیع بهینۀ بار بین واحدهای تولید انرژی از نوع حرارتی یا تجدیدپذیر است؛ به‌ نحوی ‌که کمترین هزینه را برای نیروگاهها به همراه داشته باشد. در بیشتر سیستم‌های قدرت به‌هم‌پیوستۀ امروزی، نیروگاههای حرارتی، قسمت عمده‌ای از توان موردنیاز را تولید می‌کنند. یک معیار مهم در عملکرد سیستم قدرت برای پاسخگویی تقاضای بار، حداقل‌کردن هزینۀ سوخت با استفاده از ترکیب بهینه به مدار قرار دادن واحدهای مختلف است و نیز در سیستم‌های قدرت تجدید ساختاریافته تولیدکننده‌ها سعی در حداکثرکردن سود خود و مصرف‌کننده‌ها سعی در حداقل‌کردن هزینۀ خرید توان دارند. استراتژی‌های گوناگونی برای حداقل‌کردن هزینۀ واحد‌های تولید انرژی الکتریکی و صرفه‌جویی در مصرف انرژی پیشنهاد شده‌اند. توزیع اقتصادی بار و مشارکت واحدها جزء بهترین راه‌حل‌ها برای تأمین برق باکیفیت است. توزیع بهینه یا اقتصادی بار درواقع تخصیص تولید بین واحدهای فعال است؛ به ‌نحوی ‌که هم‌زمان با تأمین تقاضای بار، حدود تولید، نرخ‌های افزایشی یا کاهشی واحدها، نواحی کار ممنوع و سایر محدودیت‌های نیروگاهها در نظر گرفته ‌شده‌اند و با لحاظ تلفات شبکۀ انتقال، هزینۀ کل تولید در هر بازه زمانی و برای شرایط بار پیش‌بینی‌شده حداقل شده است [1]. با در نظر گرفتن توزیع بهینۀ توان برای یک دوره شبانه‌روز به طبع قیود مختلفی ازجمله نرخ شیب افزایشی و کاهشی، محدودۀ تولید، مناطق ممنوعه، حداکثر توان انتقالی و غیره به مسئلۀ بهینه‌سازی اضافه خواهند شد. همچنین، یکی دیگر از نکات مهم در تولید واحدهای حرارتی، بحث میزان آلودگی‌های محیطی است [2]. آلودگی‌های محیط‌زیستی در اثر مصرف سوخت‌های فسیلی و تولید گازهای خطرناکی چون مونواکسید و دی‌اکسید کربن یکی از مسائل مهم در صنعت برق امروزی است؛ بنابراین، در ادامه توسعۀ مدل توزیع بهینۀ دینامیکی توان، مدل‌سازی آلودگی در تحقیقات پیشنهاد شده است؛ درنتیجۀ این عمل، دو تابع هدف به‌صورت غیرخطی وجود دارد که در ذات باهم متفاوت‌اند. در این زمینه، تحقیقات مختلفی صورت گرفته است. همچنین، آلودگی محیط‌زیست در اثر احتراق سوخت‌های فسیلی و شتاب فزاینده در جهت به پایان بردن منابع انرژی، دو بحران بزرگی‌اند که بشر امروزه با آنها روبه‌روست [3]. تحولات جهانی در زمینۀ توجه به حفظ محیط‌زیست و فناپذیربودن منابع فسیلی، گرایش به استفاده از انرژی‌های تجدیدپذیر را سرعت می‌بخشد و روزبه‌روز توجه بیشتری را به خود معطوف می‌کند. بدیهی است امروزه پشتوانۀ اقتصادی و سیاسی کشورها به میزان بهره‌وری آنها از منابع فسیلی بستگی دارد و تهی‌شدن منابع فسیلی یا حتی میل به این سمت، نه‌تنها تهدیدی بر اقتصاد کشورها دارد، نگرانی عمده‌ای را برای نظام اقتصادی سایر ملل موجب می‌شود. با پیشرفت علوم و فنّاوری‌های مربوط به استفاده از منابع انرژی تجدیدشونده در جهان، نیاز به تحقیق‌های فراوان در این ارتباط و افزایش سقف منابع انرژی تجدیدشونده در سبد انرژی کشور وجود دارد [4]. براساس مرور مقالات انجام‌شده، مقالات منتشرشده در دو دستۀ روش‌های مبتنی بر روش‌های ریاضی و هوش بهینه‌سازی تقسیم شده‌اند. در دستۀ نخست، به موارد زیر اشاره می‌شود: مسئلۀ پخش بهینۀ آلودگی با در نظر گرفتن حل خطی مسئله، یکی از روش‌های موجود است که در مرجع [5] داده شده است. مشکل این راه‌حل در نظر گرفتن حل خطی مسئله و ایجاد خطای زیاد تطابق‌نداشتن مسئله با واقعیت است. همچنین، به دلیل غیرخطی بودن ذاتی مسئله، حل روش‌هایی چون روش لامبدا و گرادیان ناکارآمد خواهد بود. در مراجع [6] حل مسئله در حالت خطی با در نظر گرفتن مجموع تابع هدف چندمنظوره با وزن‌دهی براساس پارتو انجام شده است. مشکل این روش در حل خطی و مدت‌زمان اجرای برنامه است. از دیگر معایب این روش، ناتوانی معیار پارتو به‌کاررفته برای یافتن جواب بهینه در حل مسئلۀ پخش بار به‌صورت تابع نامنظم است [7]. بیشتر روش‌های ریاضی تکراری‌اند که با اینکه جواب نسبتاً دقیقی برای مسئله را به دست می‌دهند، محدودیت‌های بسیاری در کاربردهای عملی دارند؛ ازجمله اینکه باید مشخصۀ نرخ افزایش حرارتی واحدها پیوسته باشد. همچنین، در روش‌های مبتنی بر برنامه‌ریزی پویا با اینکه با این قبیل محدودیت‌ها مواجه نیستند، با افزایش تعداد واحدها زمان و حافظۀ موردنیاز برای حل مسئله به‌طور چشمگیری افزایش می‌یابد [8]؛ اما در دستۀ دوم مبتنی بر پایۀ الگوریتم‌های هوشمند علاوه بر مواجه‌نبودن با محدودیت‌های ذکرشده، زمان و ابعاد حل مسئله تقریباً به‌صورت خطی با تعداد واحدها افزایش می‌یابند که باوجود رایانه‌های امروزی انتخابی صحیح برای حل مسائل عملی توزیع اقتصادی بار به نظر می‌رسند. در مرجع [9] به الگوریتم بهبودیافتۀ اجتماع ذرات براساس سیستم خودشناختی برای تعیین بهینۀ جواب در توزیع اقتصادی بار و آلودگی پرداخته ‌شده است. در این مرجع، علاوه بر اینکه مدل‌سازی از الگوریتم پیشنهادی ارائه‌ شده، اثر امنیت شبکه هم بر توزیع اقتصادی بار در نظر گرفته شده است. در مرجع [10] به مدل‌سازی تأثیر انرژی باد بر توزیع اقتصادی توان و آلودگی پرداخته شده است. در این مدل از روش‌های احتمالاتی برای مدل‌سازی انرژی باد استفاده شده است. در مرجع [11] با روش مبتنی بر منطقۀ جستجوی قابل اعتماد به حل مسئلۀ توزیع دینامیکی توان و آلودگی پرداخته شده است. در مرجع [12] از مدل خودتطبیقی جستجوی هارمونی برای حل مسئله مدنظر استفاده شده است. درحقیقت در این الگوریتم توسعه‌یافته، ضرایب کنترلی به‌صورت خودتنظیم‌یافته با تکرارهای برنامه تنظیم می‌شوند. همچنین، برای افزایش جستجوی محلی و نهایی، نظریۀ آشوب بر مبنای لجستیک به کار رفته است. در [13] از الگوریتم رقابت استعماری برای حل مسئلۀ توزیع اقتصادی توان برای طول یک شبانه‌روز با در نظر گرفتن قیود مختلف و تابع هزینۀ ناصاف استفاده شده است. روش پیشنهادی بر سیستم‌های مختلف، اعمال و نتایج حاصل با سایر روش‌های موجود مقایسه شده است. در مرجع [14] از روش مبتنی بر منطقۀ جستجوی قابل اعتماد به حل مسئلۀ توزیع دینامیکی توان و آلودگی پرداخته شده است. در این روش، علاوه بر توسعۀ الگوریتم پیشنهادی براساس جستجوی کلی، اثر سیستم ذخیرۀ انرژی در مسئله بهینۀ دینامیکی توان بررسی شده است. یکی از نقاط ضعف روش‌های پیشین، قرارگرفتن در نقاط محلی و نبود جستجوگر کلی قوی در این الگوریتم‌ها است. با در نظر گرفتن مدل احتمالاتی برای انرژی باد، به‌طبع مدل پیچیده‌تر و مشکل‌تری نسبت به سایر مدل‌های کلاسیک خواهیم داشت که برای حل این مشکل، الگوریتم توانمند جستجوی کلونی ویروس، یکی از قابل اعتمادترین روش‌های بهینه‌سازی خواهد بود که در این مقاله به آن پرداخته شده است [15]. روش پیشنهادی، یک روش بسیار جدید برای سال 2016 بوده که در مقایسه با سایر روش‌های بهینه‌سازی عملکرد سریع‌تر و بهتری داشته است. مطابق مروری بر مقالات منتشرشده، جنبه‌های متمایز و شاخص این مقاله به شرح زیرند:

الف) مدل‌سازی چندهدفۀ الگوریتم کلونی جستجوی ویروس بر مبنای معیار پارتو و توسعۀ توانایی جستجو با تئوری آشوب و بهره‌گیری از تئوری تصمیم‌گیری فازی برای انتخاب بهترین جواب؛

ب) مدل‌سازی پخش بار دینامیکی توان با در نظر گرفتن آلودگی و منابع تجدیدپذیر با در نظر گرفتن عدم قطعیت؛

ج) ارزیابی مدل و الگوریتم پیشنهادی در سناریوهای مختلف و مقایسه با سایر روش‌های موجود در مقالات.

در ادامه، در بخش دوم، به مدل‌سازی دینامیکی توان، آلودگی و انرژی باد پرداخته شده است. بخش سوم به مدل‌سازی الگوریتم چندهدفۀ پیشنهادی اختصاص یافته است. در بخش چهارم، نحوۀ اجرای الگوریتم بر مسئلۀ پخش دینامیکی توان و در بخش پنجم، نتایج شبیه‌سازی بررسی شده‌اند. درنهایت، در بخش ششم نتیجه‌گیری شده است.

2- مدل‌سازی پخش بار دینامیکی توان، آلودگی با حضور منابع باد

2-1- پخش دینامیکی توان با تابع هزینۀ ناصاف

هدف اولیۀ توزیع اقتصادی توان، به حداقل رساندن هزینۀ کل تولید با در نظر گرفتن محدودیت‌های بهره‌برداری منابع تولید است. مسئلۀ پخش بار اقتصادی، مقدار بار را برای نیروگاهها به‌منظور کم‌کردن هزینه‌ها معین می‌کند. فرمول‌بندی آن نیز به‌عنوان یک مسئله بهینه‌سازی برای به حداقل رساندن هزینۀ کلی سوخت مجموع نیروگاههای فعال در شبکه است؛ بنابراین، مسئلۀ پخش بار اقتصادی با تابع هدف زیر بیان می‌شود [2]:

که F_i,t(P_i,t) هزینۀ سوخت i امین نیروگاه در ساعت t، Ng تعداد ژنراتورهای در حال بهره‌برداری سیستم و P_i,t توان خروجیi امین ژنراتور در ساعت t است. تابع هزینه F_i,t(P_i,t) معمولاً به‌صورت معادله درجه دوم پیوسته زیر بیان می‌شود:

در رابطه فوق، ضرایب ai، bi و ci ضرایب هزینه i امین ژنراتورند. با افزودن بخش سینوسی به تابع هزینه فوق، تابع درجه‌دو دارای سطح ناصاف خواهد شد. این موضوع باعث پیچیده‌ترشدن تابع هدف نهایی می‌شود. برای در نظر گرفتن اثرات موقعیت شیر، توابع سینوسی به شکل زیر وارد تابع هدف می‌شوند:

که ضرایب ei و fi ضرایب موقعیت شیر i امین ژنراتور بوده که درنتیجۀ آن، تابع هزینه در فرمول (1) به یک تابع مرکب چندجمله‌ای و غیر محدب مطابق با شکل 1 تبدیل می‌شود.

شکل 1- تأثیر شیر ورودی بر تابع هزینه، خط پیوستۀ معادله درجه‌دو و نقطه‌چین تأثیر شیر ورودی بر تابع هزینه

این شکل، تغییرات تابع هزینه را برای واحد نیروگاهی نشان می‌دهد. علاوه بر اثرات موقعیت شیر، هر نوع هزینۀ دیگر، همچون هزینه‌های تعمیر و نگهداری یا آلودگی را می‌توان به تابع هزینه افزود.

2-2- تابع هزینۀ آلودگی تابع‌نمایی

تعیین تابع هدف خروجی و هزینه برای میزان آلودگی منتشر‌شده و اعمال آن به‌عنوان یک تابع هدف مجزا و مقیدکننده به تابع هزینه، یکی دیگر از چالش‌های مهندسی است. به مفهومی ساده‌تر، توزیع بهینۀ آلودگی همانند توزیع بهینۀ توان است و هدف نهایی، کاهش آلودگی تولید شده است. در این تابع، هدفْ کم‌کردن آلودگی‌های محیط‌زیست مانند اکسید سولفور و اکسید نیتروژن براساس تابع‌نمایی زیر است [14]:

که ، ، ،  و  ضرایب تابع آلودگی برایi امین ژنراتور است.

2-3- مدل احتمالاتی توان تولیدی از انرژی باد

با استفاده از انرژی باد به‌عنوان یک منبع انرژی در درازمدت، دو برابر مصرف انرژی الکتریکی فعلی جهان تأمین می‌شود. توربین‌های بادی، انرژی موجود در باد را به انرژی الکتریکی تبدیل می‌کنند. باد یک منبع متغیر است که انرژی آن ذخیره نمی‌شود؛ بنابراین، توربین‌های بادی باید در همان زمان، بهره‌برداری شوند [10]. اصولاً برای تخمین میزان تولید توان بادی از تابع pdf استفاده می‌شود که براساس تابع weibull تابع چگالی احتمال براساس سرعت باد (v) و دو پارامتر تخمینی c و k به‌صورت زیر ‌بیان می‌شوند:

که در رابطه فوق، v_m و σ به‌ترتیب سرعت باد و انحراف استانداردند. همان‌گونه که بیان شد انرژی باد به‌سرعت و مکان آن بستگی دارد که برای یک ساعت خاص به‌صورت زیر فرمول‌بندی می‌شود:

که با توسعۀ تابع چگالی احتمال براساس توابع تبدیل خواهیم داشت:

که در رابطه فوق،  و  می‌باشند. Vr، wr، vi و vo به ترتیب نرخ سرعت باد، نرخ توان باد، سرعت قطع داخلی و سرعت قطع خارجی می‌باشند. به‌عبارتی‌دیگر، سرعت قطع، سرعتی است که اگر مقدار فعلی از آن حد کمتر یا بالاتر شود آنگاه سیستم به‌صورت خروجی صفر یا مقدار ثابت عمل می‌نماید. درنهایت بر اساس هزینه تولید، تابع هزینه برای عملکرد انرژی باد به‌صورت زیر فرموله می‌شود [10]:

که در تابع فوق،  خروجی برنامه‌ریزی‌شده برای ith تولیدکننده بادی در زمان j است.  و  به‌عنوان ضرایب وزنی در تخمین بالایی و پایینی در میزان خروجی انرژی باد است. همان‌گونه رابطه فوق نشان می‌دهد، هزینه تولید انرژی باد از سه بخش تشکیل شده است. بخش اول هزینه تولید توان از انرژی باد بر اساس پروفیل باد است که بر اساس تابع چگالی احتمال  و ضریب هزینه (di) برای ith سیستم بادی، می‌تواند به‌صورت زیر فرموله شود [10]:

بخش دوم هزینه جریمه برای عدم استفاده از تمام توان باد موجود است که معمولاً به‌صورت نمودار خطی بر اساس تفاوت بین مقدار واقعی و مقدار توان برنامه‌ریزی‌شده به دست می‌آید [10]:

که در رابطه فوق،  ضریب هزینه جریمه برای تولید بیش‌ازحد ith منبع تولید توان بادی،  مقدار واقعی یا در دسترس توان باد فعلی برای ith منبع تولید توان بادی و  نرخ خروجی توان از ith منبع تولید توان بادی است. به‌صورت مشابه، بخش سوم ضریب هزینۀ جریمه برای مواقعی که مقدار توان باد فعلی از مقدار برنامه‌ریزی‌شده کمتر باشد، برابر است با [10]:

در رابطه فوق، ضریب هزینۀ جریمه برای موقعی است که توان فعلی برای ith منبع تولید توان بادی از مقدار برنامه‌ریزی‌شده کمتر باشد.

2-4- قیود اعمال بر مسئلۀ پخش دینامیکی توان، آلودگی با حضور منابع بادی

l توازن تولید و مصرف در سیستم

مجموع توان تولیدشدۀ کلیۀ واحدهای در مدار باید با مجموع مصرف سیستم، برابر باشد.

P_D,t تقاضای بار و Ploss,t تلفات شبکه انتقال است که به ساختار فیزیکی شبکه و مقدار تولید بستگی دارد و از محاسبات پخش بار یا ضرایب تلفات B با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

l حدود تولید

در یک سیستم قدرت هر واحد تولیدی به دلایلی فنی می‌تواند در یک رنج مناسبی توان تولید کند؛ زیرا اگر از محدودۀ خود خارج شود، به لحاظ اقتصادی مقرون‌به‌صرفه نخواهد بود؛ به ‌طوری ‌که برای هر واحد تولیدی، حداقل و حداکثر توان اکتیو تعریف می‌شود.

در رابطه‌های فوق،  مقدار کمینۀ توان اکتیو و  مقدار حد بالا برای هر واحد نیروگاهی است. حدود فوق، علاوه بر اینکه ناشی از محدودیت‌های فنی هر واحدند، باعث می‌شوند واحد با هزینۀ کمتر، بیش از حداکثر توان مجاز خود و واحد با هزینۀ بیشتر، کمتر از حد مجاز خود تولید نداشته باشد. شکل 2 حداکثر و حداقل تولید را نشان می‌دهد:

شکل 2- محدودۀ تولید برای واحد i ام

l نرخ‌های افزایشی و کاهشی

به دلایل فنی، نیروگاههای حرارتی نمی‌توانند به‌صورت آنی توان خود را افزایش یا کاهش دهند و این افزایش یا کاهش با آهنگی همراه است که با قیود زیر داده می‌شود:

که و RDRi نرخ کاهشی نیروگاه و و RURi نرخ افزایشی نیروگاه است. به‌منظور اعمال محدودیت‌های فوق لازم است وضعیت تولید اولیۀ هر نیروگاه معلوم باشد. شکل 3 این محدودیت را نشان می‌دهد.

شکل 3- به‌ترتیب از راست به چپ، تغییرات نرخ کاهشی و افزایشی و حالت پایدار برای واحدهای تولیدی

l مناطق ممنوع

نیروگاهها به دلایل فنی نمی‌توانند در برخی از نواحی مابین حداقل و حداکثر تولید خودشان توان تولید کنند. این نواحی مناطق ممنوع، نامیده و به‌صورت [P_i,jL P_i,jU] مشخص می‌شوند. به عبارتی دیگر، برخی از ژنراتورهـا منـاطق اجرایی خاصی دارند که ناشی از محـدودیت‌هـای فیزیکـی مؤلفه‌های ژنراتور، سوپاپ بخار، ارتعاش در شفت و غیره هسـتند. ایـن منـاطق موجـب ایجاد ناپیوستگی در منحنی سوخت ژنراتورهـا مطابق با شکل 4 می‌شوند. وجـود ایـن ناپیوستگی‌ها در منحنـی سـوخت ژنراتور i ام به‌صورت قیـود زیر در مسئله DEED  در نظر گرفته می‌شود:

که Z_i تعداد مناطق ممنوع واحد i ام است.

l محدودیت‌های قابلیت اطمینان و امنیت شبکه

سایر محدودیت‌های ناشی از معیارهای قابلیت اطمینان و امنیت شبکه نیز به‌عنوان محدودیت‌های فنی مسئلۀ توزیع بار اقتصادی در نظر گرفته می‌شوند. در بیشتر موارد، این محدودیت‌ها در سایر مطالعات یا برنامه‌ریزی‌ها در نظر گرفته می‌شوند و توزیع اقتصادی بار بدون منظورکردن این محدودیت‌ها حل می‌شوند.

شکل 4- مناطق ممنوعه برای واحد تولیدی

3- الگوریتم چندهدفۀ کلونی جستجوی ویروس

3-1- مفاهیم اولیه

الگوریتم کلونی ویروس (VCS)، روش مبتنی بر جمعیت ویروس‌ها و سلول‌های میزبان است که براساس دو رفتار ویروس در آلوده‌کردن سلول میزبان و انتشار یا بازتولید بنیان‌گذاری شده است. با توجه به اینکه هدف این مقاله، ارائۀ یک مدل توسعه‌یافته است، خوانندگان می‌توانند به مرجع [15] برای توضیحات بیشتر رجوع کنند.

3-2- تطبیق‌سازی با مدل‌های ریاضی

الگوریتم جستجوی ویروس شامل سه استراتژی است: 1) روش پیاده‌روی گوسین برای مدل‌کردن انتشار ویروس؛ 2) روش ماتریس کوواریانس CMA-ES برای مدل‌کردن آسیب‌دیدگی سلول میزبان و 3) استراتژی تکامل برای مقابلۀ سیستم ایمنی با ویروس. در این الگوریتم، از دو پارامتر کلونی ویروس Vpop و کلونی سلول‌های میزبان Hpop استفاده می‌شوند.

3-1- انتشار ویروس

روش پیاده‌روی گوسی یک روش مناسب برای مدل‌کردن این رفتار و دوری‌گزیدن از جواب بهینۀ محلی است که با رابطۀ زیر فرموله می‌شود:

Iشاخص انتخاب تصادفی از مجموعه {1,2,…,N} است که N تعداد کل جمعیت است.  بهترین جواب تولیدشده در تکرار g و r1 و r2 دو متغیر تصادفی بین 0 و 1 هستند.  بیان‌کننده i امین مکان از کل جمعیت  است.

3-2- تأثیرپذیری سلول میزبان

هنگامی که یک سلول آلوده می‌شود، ساختمان داخلی آن با ویروس، تخریب و تا زمانی که به مرگ سلول منجر شود، ادامه می‌یابد. این رفتار با گام‌های زیر مدل می‌شود:

 گام اول: به‌روزرسانی Hpop با رابطه:

که  توزیع نرمال با میانگین  و ماتریس کوواریانس  با ابعاد D×D، g تکرار فعلی برنامه، D بعد مسئله و σg>0 است.  با مقدار اولیه زیر بیان می‌شود:

گام دوم: بهترین بردار γ از بخش قبلی، انتخاب و به‌عنوان بردار والدین با مرکزیت زیر در نظر گرفته می‌شود:

که  و wi ضریب ترکیب و اندیس i نشان‌دهندۀ بهترین جواب در مجموعه جواب است. بر اساس این، دو مسیر حرکت تکاملی مطابق با روابط زیر خواهیم داشت:

که  متقارن، مثبت و برقرارکنندۀ شرط  است.

گام سوم: به‌روزرسانی اندازه  و ماتریس کوواریانس  با:

که  معمولاً نزدیک به 1 و  است که  مطابق با رابطه زیر عمل می‌کند:

که   نرخ به‌روزرسانی برای ماتریس کوواریانس C است.

3-3- عملکرد سیستم ایمنی

گام‌های زیر برای این حرکت تکاملی ‌پیگیری می‌شوند:

گام اول: محاسبۀ معیار عملکردی Pr برای جمعیت V_pop براساس تابع هدف سیستم مطالعه‌شده:

که N تعداد کل جمعیت V_pop و rank(i) میانگین تابع هدف از i^th جمعیت V_pop است.

گام دوم: رشدکردن هر جمعیت به‌صورت انفرادی از میان جمعیت V_pop با رابطه:

که اندیس‌های k, i, h به‌صورت تصادفی از مجموعه [1, 2, 3, … , N] انتخاب می‌شوند؛ به گونه‌ای که  و j ∈ [1, 2, 3,..., d] است. rand و r عددهای تصادفی بین 0 و 1 هستند. همچنین، اگر جوابی از محدودۀ مسئله خارج شوند، مجدد براساس محدوده بالا  و پایین  خود تولید می‌شود:

3-4- تئوری آشوب

یکی از مباحث تقریباً نوپا ازنظر توسعۀ الگوریتم‌های بهینه‌سازی، مفهوم آشوب است که افق درک ما نسبت به هستی را بسیار توسعه می‌دهد. درحقیقت، نظریۀ آشوب نوعی الگو منظم از یک قاعدۀ بی‌نظم است. طبق توضیحات هیلز، نظریۀ آشوب اینگونه بیان می‌شود: بی‌نظمی و آشوب، نوعی بی‌نظمی منظم یا نظم در بی‌نظمی است؛ بی‌نظم ازآن‌رو که نتایج آن پیش‌بینی‌ناپذیر است و نظم بدان سبب که از نوعی قطعیت برخوردار است [16]. در این مقاله، از مدل هنون[1] مطابق رابطۀ زیر استفاده شده است:

که در این رابطه، a و b دو مقدار مثبت‌اند. تابع توزیع از رابطۀ فوق به این دو پارامتر بستگی دارد. شکل 5 نحوۀ تغییرات سیگنال براساس دو پارامتر a=0.3 و b=1.4 را نشان می‌دهد. شایان ذکر است شکل 6 نشان می‌دهد سیستم‌های قطعی به ایجاد رفتارهای آشفته قادرند. مطابق رابطه (30)، رفتارهای بی‌نظم در شکل مشاهده می‌شود؛ با این حال، باید توجه داشت مقدار اولیه ممکن است تأثیرات مهمی بر الگوی نوسان برخی از الگوهای آشفته داشته باشد. اپراتورهای آشوب، اکتشاف را بهبود می‌بخشند. شکل 7 نحوۀ اعمال جستجوی مبتنی بر تئوری آشوب را نشان می‌دهد.

شکل 5- تغییرات الگو نکاشت تابع هنون

شکل 6- تجسم نقشه‌های بی‌نظم تابع هنون

شکل 7- نحوۀ جستجوی در فضای تئوری آشوب

3-5- الگوریتم چندهدفه

همان‌طور که اشاره شد برای حل مسائل بهینه‌سازی چندهدفه به مفهوم بهینگی ویژه‌ای نیاز است. براساس مفهوم غلبه یا چیرگی پارتو به‌صورت زیر معیار بهینگی در یک مسئلۀ چندهدفه تعریف می‌شود [17]:

برای دو بردار تصمیم X₁ و X₂، بردار X₁ بردار X₂ را مغلوب می‌کند^[2]، اگر و فقط اگر دو شرط برقرار باشد؛ نخست اینکه X₁ در همه اهداف، بدتر از X₂ نباشد^[3] و دوم اینکه X₁ در حداقل یک هدف، مطلقاً بهتر از X₂ باشد؛ یعنی:

همچنین، بردار تصمیم نسبت به مجموعه  نامغلوب خوانده می‌شود، اگر و تنها اگر

X بهینۀ پارتو است، اگر و تنها اگر نسبت به X_F نامغلوب باشد؛ بنابراین، می‌توان بردار تصمیم X را بهینه دانست؛ از این نظر که نمی‌توان هیچ‌یک از اهداف آن را بهبود داد، بدون آنکه مقدار هدف دیگرِ آن را بدتر کرد. به چنین جوابی، بهینه پارتو یا ناپست^[4] نیز گفته می‌شود. این نقاط نسبت به یکدیگر بی‌تفاوت‌اند. فرق اساسی میان مسئلۀ تک‌هدفه و چندهدفه در اینجا مشخص می‌شود. مسائل چندهدفه به یک جواب بهینۀ واحد محدود نیستند؛ بلکه در آنها مجموعه‌ای از جواب‌های بهینه وجود دارد. هیچ‌کدام از جواب‌ها را نمی‌توان بر جواب دیگر برتر دانست؛ مگر آنکه ترجیحات تصمیم‌گیر تعریف شده باشد. مجموعۀ تمام جواب‌های بهینۀ پارتو در یک مسئلۀ چندهدفۀ مجموعه بهینۀ پارتو و بردارهای هدف متناظر با آن لبه یا جبهۀ بهینۀ پارتو^[5] نامیده می‌شوند. مجموعه همۀ بردارهای تصمیم نامغلوب در مجموعه A به‌صورت زیر فرض می‌شود:

مجموعه  P(A)با توجه به A مجموعه نامغلوب^[6] است و مجموعه بردارهای متناظر F(P(A)) نیز لبۀ نامغلوب^[7] آن است. به‌علاوه مجموعه X_P=P(X_f) مجموعه بهینۀ پارتو و Y_P=F(X_p) جبهۀ بهینۀ پارتو تعریف می‌شود. به عبارت دیگر، وقتی مجموعه A برابر با مجموعه جواب‌های شدنی X_f باشد، آنگاه مجموعه P(A) جبهۀ بهینۀ پارتو را تولید می‌کند. نقطه ایدئال^[8] نقطه‌ای است که در آن مقادیر همه توابع هدف کمینه باشد. بدیهی است معمولاً نقطه ایدئال در ناحیۀ شدنی از فضای هدف وجود ندارد. نقطۀ پاد ایدئال^[9] نیز نقطه‌ای است که در آن مقادیر همۀ توابع هدف بیشینه باشد.

3-6- ترکیب منطق فازی با الگوریتم پیشنهادی

در این بخش، تابع تصمیم‌گیری فازی با تابع عضویتی (μ_c) معرفی شده است که بتوان مقدار دقیق متغیرها در آن جایگذاری شود. اگر تصمیم‌گیرنده به‌طور کامل از میزان هزینۀ کل سوخت راضی باشد، μ_c = 1 می‌شود و در نقطۀ مقابل، اگر  μ_c = 0باشد، نشان‌دهندۀ این نکته است که تصمیم‌گیرنده به‌طور کامل ناراضی است؛ بنابراین، مقدار تابع عضویت نشان‌دهندۀ میزان وقف‌پذیری شاخص اقتصادی است. به سبب ماهیت غیردقیق و نامشخص تصمیم و قضاوت برای تصمیم‌گیرنده‌ها، تابع هدف مربوطه، راه‌حلی non-dominated دارد. مجموعه f_i(P_gi) به‌وسیلۀ تابع عضویت μ_i(P_gi) بیان شده که فرمول آن به‌صورت زیر است:

که f_i^max و f_i^min به‌ترتیب حد بالایی و حد پایینی تابع هدف iام هستند:

به‌ترتیب، عضویت نرمالیزه FDMk تابع برای هر k راه‌حل Non-Dominated به‌صورت زیر است:

بهترین حالت برای راه‌حل مسئلۀ پخش بار اقتصادی این است که در ابتدا ماکزیمم مقدار FDM^k را برای تابع تصمیم‌گیری فازی در نظر بگیریم (که M تعداد کل راه‌حل‌های Non-Dominated است) سپس همۀ راه‌حل‌ها به‌ترتیب مقدار به‌صورت نزولی مرتب می‌شوند و تصمیم‌گیرنده با توجه به مقدار تابع عضویت در شرایط عملیاتی واقعی، بهترین راه‌حل را در بین راه‌حل‌های Non-Dominated بر طبق لیست حق تقدم انتخاب می‌کند.

4- اعمال الگوریتم پیشنهادی بر مسئله

هدف اصلی توزیع دینامیکی توان، برنامه‌ریزی تولید واحدهای تولید انرژی الکتریکی است؛ به‌ نحوی‌ که بار موردنیاز شبکه، تأمین و هزینه‌های اقتصادی این تولید نیز کمینه شوند؛ اما محدودیت‌های بسیاری در کاربردهای عملی وجود دارند که نحوۀ فرمول‌بندی و حل مسئله کمی پیچیده می‌شود؛ ازجمله باید مشخصۀ نرخ افزایش حرارتی واحدها پیوسته باشد. درحقیقت باید گام‌های زیر برای حل مسئله ‌پیگیری شوند:

گام اول: تنظیم پارامترهای اولیۀ الگوریتم پیشنهادی ازجمله تعداد جمعیت و تعداد تکرار برنامه و فراخوانی اطلاعات سیستم مطالعه‌شده و قراردادن محدودیت‌های وارده بر سیستم. در این مرحله، جواب‌های اولیه باید در محدودیت‌های مدنظر قرار داده شوند تا جستجوی بهتری برای الگوریتم ایجاد کند.

گام دوم: محاسبۀ برازندگی جواب‌های اولیه و مرتب‌کردن آنها براساس حداقل‌سازی تابع هزینۀ مطالعه‌شده.

گام سوم: انتخاب بهترین جواب از مجموعه جواب پارتو به کمک تئوری فازی و ذخیره‌سازی آن در حافظه به‌منظور ارتقای نسل‌های بعدی.

گام چهارم: ارتقای جواب‌ها براساس تقابل بین ویروس و سلول میزبان و محاسبۀ برازندگی و انتخاب بهترین آنها.

گام پنجم: مقایسۀ بهترین جواب با جواب ذخیره‌شده در حافظه. اگر این جواب از جواب موجد در حافظه بهتر باشد، جایگزین آن می‌شود، وگرنه همان قبلی در حافظه قرار می‌گیرد.

گام ششم: ارتقای جواب‌ها براساس توسعۀ ویروس‌ها برای مقابله با سیستم ایمنی بدن و انجام عملیات مشابه به گام چهارم.

گام هفتم: اعمال سیستم آشوب برای تولید مجموعه جواب‌های جدید.

گام هشتم: جایگزین‌کردن بدترین مجموعه جواب به‌دست‌آمده با جواب‌های تصادفی جدید و استفاده از عملگر پیشنهادی برای ارتقای جستجوی کلی.

گام نهم: آیا شرط خاتمه تکمیل شده است؛ اگر بله، خروج از برنامه و نمایش‌دادن اطلاعات، در غیر این صورت، رفتن به گام سوم.

به‌منظور ارائۀ دیدگاه بهتر برای خواننده، شکل 8 روند نمای روش مدنظر را نشان می‌دهد.

5- نتایج شبیه‌سازی و آنالیز الگوریتم

در این بخش، نتایج به‌دست‌آمده از پخش بار دینامیکی توان ارائه شده‌اند. سه سناریو به‌منظور ایجاد تحلیل جامع در نظر گرفته شده‌اند. پارامترهای کنترلی این الگوریتم از‌جمله تعداد جمعیت، λ ، σ، تعداد تکرار به‌ترتیب برابر با 50، 25، 3/0 و 150 هستند.

5-1- سناریو اول: پخش دینامیکی توان بدون حضور آلودگی و منابع تجدیدپذیر

با توجه به مقالات مختلف منتشرشده در این زمینه، در این مقاله، دو سیستم موجود در مقالات برای این منظور انتخاب شده است. سیستم اول، سیستم 5 ماشینه با اطلاعات موجود در جدول 1 الی 2 است. سیستم شماره دو، سیستم بزرگ ده ماشینه با اطلاعات موجود در جداول 3 الی 4 است. جدول 5 میزان بار تقاضاشده در هر ساعت را نشان می‌دهد.

جدول 1- ضرایب ماتریس تلفات (B) برای سیستم 5 ماشینه

شکل 8: نحوۀ اعمال الگوریتم پیشنهادی برای مسئلۀ پخش بار اقتصادی

جدول 2- ضرایب تابع هزینۀ ناصاف و قیود سیستم 5 ماشینه

جدول 3- ضرایب ماتریس تلفات (B) برای سیستم 10 ماشینه

جدول 4- ضرایب تابع هزینه ناصاف و قیود سیستم 10 ماشینه

جدول 5- میزان بار تقاضاشده برای طول یک شبانه‌روز

شکل 9 نتایج تخصیص‌یافته برای واحدهای نیروگاهی و شکل 10 نتیجۀ همگرایی را بعد از 150 تکرار نشان می‌دهد. در جدول 6 مقایسۀ کاملی بین الگوریتم پیشنهادی و سایر روش‌های موجود در این زمینه شده است.

شکل 9- نتایج خروجی بهینه برای سیستم 5 ماشینه

به‌منظور کاهش تعداد مراجع در این مقاله، تمامی روش‌های ارائه‌شده در جدول 6 از مراجع [18-21] دردسترس‌اند. براساس نتایج به‌دست‌آمده از روش‌های مختلف، بهترین نتیجه برای مقالات پیشین با روش HPSTCO بوده و برابر با 33/42151 دلار است؛ در حالی که روش پیشنهادی این مقاله توانست مقدار 38/42130 دلار را به دست آورد.

شکل 10- روند همگرایی الگوریتم پیشنهادی برای سیستم 5 ماشینه

اگرچه به‌صراحت می‌توان دریافت روش پیشنهادی عملکرد بهتری دارد، ولی روش HPSTCO نتوانست قیود مسئله را به‌صورت صحیح برقرار سازد؛ برای مثال، در روش HPSTCO مقدار واحد تولید اول در ساعت 6 برابر با 3389/57 مگاوات است؛ در حالی که مطابق قید مناطق ممنوعه از جدول 2 مشخص است نباید در محدوده 55 الی 60 تولیدی وجود داشته باشد. با وجود این، مقدار تلفات محاسبه‌شده با روش HPSTCO برابر با 32/194 مگاوات است که روش پیشنهادی مقدار تلفات 94/193 مگاوات را به ثبت رسانده است. این نشان می‌دهد روش پیشنهادی، هم ازنظر هزینه تمام‌شده و هم تلفات عملکرد بهتری داشته است. همان‌گونه که بیان شد یکی از مهم‌ترین قیدهای این مسئله، تعادل بین تولید و مصرف است. برای این منظور از معیار زیر استفاده می‌شود:

جدول 6- نتیجۀ مقایسه بین الگوریتم‌های مختلف در سیستم 5 ماشینه

همان‌گونه که از رابطه مشخص است هرچه قدر میزان این اختلاف به سمت صفر میل کند، نشان از برقراری بهتر قید توازن دارد. شکل 11 نتیجۀ محاسبۀ این معیار را نشان می‌دهد. با توجه به شکل، روش پیشنهادی توانست تا حد پذیرفتنی این قید را برقرار سازد.

شکل 11- نتیجۀ معیار mismatch برای سیستم 5 ماشینه

به‌صورت مشابه، شکل 12 نتایج بهینۀ به‌دست‌آمده را برای سیستم 10 ماشینه نشان می‌دهد. شکل 13 نحوۀ همگرایی الگوریتم پیشنهادی را بعد 150 تکرار نشان می‌دهد. همچنین، این شکل، مقدار میانگین شایستگی جواب‌ها را در طول بهینه‌سازی نشان می‌دهد. از روی شکل می‌توان دریافت الگوریتم توسعه‌یافته توانسته است مقدار میانگین کل جمعیت را به سمت همگرایی میل دهد؛ به این معنی که میانگین کل شایستگی و بهترین جواب توانسته است از تکرار تقریبی 95 به بعد بر هم تطابق یابد. همچنین، این شکل بیان‌کنندۀ انحراف معیار کمتر جمعیت از جواب بهینه است. جدول 7 نتایج مقایسه بین الگوریتم پیشنهادی و سایر روش‌های موجود در مقاله [21] است. با توجه به نتایج ارائه‌شده در جدول 7، استفاده از روش پیشنهادی بهبود چشمگیری در پاسخ‌های مسئله ایجاد کرده است. همچنین، نزدیک‌بودن مقدار عددی برای میانگین و کمینه نشان از مقاوم‌بودن و انحراف کمتر الگوریتم پیشنهادی در حل مسئلۀ توزیع دینامیکی توان دارد. با توجه به جدول 7، روش پیشنهادی در مقایسه با بهترین روشHPSTCO  بهتر بوده است.

شکل 13- همگرایی الگوریتم پیشنهادی برای سیستم 10 ماشینه

 شکل 12- نتایج خروجی بهینه برای سیستم 10 ماشینه

جدول 7- نتیجۀ مقایسه بین الگوریتم‌های مختلف در سیستم 10 ماشینه

5-2- سناریو دوم: پخش دینامیکی توان با در نظر گرفتن تابع آلودگی

در این قسمت، دو تابع هزینه و آلودگی، دو تابع در بهینه‌سازی در نظر گرفته شدند. سیستم مطالعه‌شده، سیستم 5 ماشینه است. اطلاعات این سیستم در مرجع [22] دریافت‌شدنی است. شکل 14 نتیجۀ بهینۀ توان خروجی واحدهای نیروگاهی را به همراه میزان آلودگی و هزینۀ هر ساعت نشان می‌دهد. شکل 15 نتیجۀ توزیع بهینۀ پارتو را نشان می‌دهد. شکل 16 میزان هزینۀ تولیدی و آلودگی منتشرشده را برای هر ساعت نشان می‌دهد. نتایج حاصل از مقدار ماکزیمم و مینیمم برای الگوریتم پیشنهادی در مقایسه با روش‌های مرجع [22-23] در جدول 8 آمده‌اند. با توجه به جدول 8، روش پیشنهادی کارآمدتر و سریع‌تر بوده است.

شکل 14- نتایج خروجی بهینه برای سیستم 5 ماشینه

شکل 15- نحوۀ توزیع همگرایی پارتو برای سیستم 5 ماشینه با در نظر گرفتن آلودگی

شکل 16- تغییرات ساعتی هزینۀ تولیدی و میزان آلودگی منتشرشده

جدول 8- نتیجۀ مقایسه بین روش پیشنهادی و روش‌های موجود در مرجع [22-23] برای سیستم 5 ماشینه با در نظر گرفتن آلودگی

مطابق جدول فوق، الگوریتم پیشنهادی ازنظر هزینه، عملکرد بسیار بهتری داشته است؛ اما ازنظر میزان آلودگی، نتوانست جواب بهتری نسبت به PS پیدا کند. شکل 17 برای بررسی عملکرد روش پیشنهادی با بهترین روش از جدول 8 یعنی PSO براساس معیار mismatch ارائه می‌شود.

مطابق این شکل، مشخص است الگوریتم پیشنهادی توانسته است به بهترین شکل جواب بهینه را پیدا کند؛ به نحوی که قید تعادل توان تولیدی و مصرفی را به‌صورت مناسب‎تری برقرار کرده است.

شکل 17- تغییرات mismatch برای سیستم 5 ماشینه

5-3- سناریو سوم: پخش دینامیکی توان با در نظر گرفتن تابع آلودگی و انرژی باد

در این قسمت، به دلیل نبود روش مشابه برای حل توزیع اقتصادی توان با در نظر گرفتن انرژی باد براساس توابع معرفی‌شده در بخش دوم، سیستم 10 ماشینه در قسمت 5-2 انتخاب شده است. در این سیستم، دو واحد نیروگاهی مبتنی بر انرژی بادی در جایگاه 9 و 10 در نظر گرفته شده‌اند. اطلاعات این منابع از مراجع [10، 24-25] دریافت‌شدنی است. توزیع بهینه برای واحدهای نیروگاهی با حضور منابع تجدیدپذیر در شکل 18 نشان داده شده است. جدول 9 مقایسه بین روش‌های NSGA-II ، SPEA و MOPSO را نشان می‌دهد. مطابق نتایج به‌دست‌آمده، روش پیشنهادی توانست نتایج بهتری به دست بیاورد. ازنظر مقایسۀ عددی، روش پیشنهادی توانست در مقایسه با بهترین جواب از NSGA-II، مقدار 136/143 دلار کمتر به دست بیاورد. ازنظر آلودگی، روش پیشنهادی در مقایسه با بهترین روش SPEA توانست به میزان 22/5 مقدار کمتری را به دست بیاورد.

جدول 9- مقایسۀ هزینۀ سوخت و آلودگی به‌دست‌آمده برای طول یک شبانه با روش‌های مختلف

شکل 18- خروجی بهینۀ به‌دست‌آمده از واحدهای نیروگاهی به کمک روش پیشنهادی با حضور مولدهای بادی