به‌کارگیری نظریۀ ارزش فِرین و حافظۀ بلندمدت در بازار سهام ایران (در چهارچوب الگو‌های GARCH)

مقدمه.

یکی از عوامل مهم و تأثیرگذار بر شرکت‌های سرمایه‌گذاری، محاسبه و مدیریت ریسک است. از بین انواع ریسکی که اینگونه شرکت‌ها با آنها روبه‌رو هستند، ریسک بازار جایگاه مهمی دارد. یکی از روش‌های متداول و کاربردی که بسیاری از مؤسسه‌های مالی و سرمایه‌گذاران در دنیا برای اندازه‌گیری ریسک بازار از آن استفاده می‌کنند، روش ارزش در معرض خطر^[1]  است. ارزش در معرض خطر حداکثر زیانی را که ممکن است برای یک شرکت سرمایه‌گذاری در دورۀ معینی رخ دهد، با سطح اطمینان مشخص تعیین می‌کند و با توجه به ویژگی‌هایش و اقبال نهادهای مالی و بین‌المللی دنیا برای ارزیابی ریسک، به ابزاری پرکاربرد تبدیل شده است. این روش ابزاری ساده و در عین حال قدرتمند برای کمیت‌بخشیدن به عدم اطمینان در شرایط عادی بازار است.

در ایران پژوهش‌های مختلفی با موضوع بررسی حافظۀ بلندمدت بازار سهام انجام شده است؛ برای مثال محقق‌نیا و کاشی (2013)، وجود حافظۀ بلندمدت در بورس اوراق بهادار تهران را با الگو‌های GSP، GPH، ARFIMA و FIGARCH بررسی کرده‌اند. یافته‌های پژوهش آنها نشان می‌دهد الگوهای مبتنی بر فرض نرمال گاوسی، ممکن است برای الگو‌سازی خصوصیت حافظۀ بلندمدت مناسب نباشند. درنهایت به نظر می‌رسد بازار سرمایۀ تهران نمی‌تواند به‌منزلۀ بازار کارا ازلحاظ سرعت انتقال داده‌ها بررسی شود؛ ازاین‌رو، امکان کسب سودهای غیرعادی باثبات ازطریق پیش‌بینی قیمت سهام وجود دارد. محمدی و چیت‌سازان (2011) نیز حافظۀ بازار سهام را تخمین زده‌اند و تفسیر کرده‌اند. تخمین پارامتر تفاضل کسری با روش‌های مختلفی ازجمله روش حداکثر درست‌نمایی، حداقل مربعات غیرخطیNLS ، نمای هرست^[2]، گویک و پورتر -هوداک^[3] GPH نمای هرست تعدیل‌شده^[4] یا لو^[5] ، وایتل^[6] و موجک^[7] انجام شده است. نتایج تخمین وایتل، هرست، لو و موجک نشان می‌دهد بازده شاخص‌های کل، بازده و قیمت، بازده‌ نقدی و صنعت و مالی حافظۀ‌ بلندمدت دارد. تخمین‌های به‌دست‌آمده با روش GPH بیان‌کنندۀ آن است که بازده‌ همۀ شاخص‌ها به‌جز شاخص بازده‌ نقدی، حافظۀ بلندمدت دارد. با توجه به معنی‌دارنبودن نتایج تخمین‌های ML و NLS در بیشتر بازه‌های بررسی‌شده، تخمین‌های حاصل از این دو فن اعتبار کافی ندارند. در نتیجه از تحلیل کنار گذاشته شدند. نتایج حاصل از بررسی روند تغییرات حافظه نیز نشان می‌دهد پارامتر حافظۀ‌ بورس اوراق بهادار تهران روند تغییر محسوسی نداشته است؛ به عبارت دیگر، طی دورۀ‌ بررسی‌شده، کاهش یا افزایش معنی‌داری در کارآیی بازار رخ نداده است؛ اما در پژوهش حاضر نشان داده می‌شود انواع الگوی گارچ (FIAGARCH، HYGARCH،FIAPARCH ) حافظۀ بلندمدت دارند و از نظریۀ ارزش فرین^[8] برای پیش‌بینی ارزش در معرض خطر شاخص قیمت کل بورس اوراق بهادار تهران استفاده شده است. در این پژوهش از کاربرد نظریۀ ارزش فرین و حافظۀ بلندمدت در بازار سهام در چهارچوب  و ،  و برای پیش‌بینی ارزش در معرض خطر شاخص کل قیمت بورس اوراق بهادار تهران استفاده شده است. برای اعتبارسنجی الگوهای استفاده‌شده در برآورد ارزش در معرض خطر، از آزمون کوپیک^[9] و پوشش غیرشرطی^[10] کوپیک استفاده شده است. در ساختاربندی مطالعه، ابتدا مبانی نظری و پیشینۀ پژوهش و پس از آن روش پژوهش، مفاهیم و ابزارهای پژوهش و روش‌های پیش‌آزمایی بررسی می‌شود. درنهایت نیز دربارۀ چهارچوب نظری الگو‌های GARCH و روش‌های تخمین پارامتر حافظۀ بلندمدت بحث می‌شود و یافته‌ها، نتایج و پیشنهادها ارائه می‌شود.

مبانی نظری.

امروزه بورس اوراق بهادار به‌منزلۀ محلی برای تراکنش‌های اقتصادی (بدون هیچ‌گونه خرید و فروش فیزیکی)، به یکی از ابعاد مهم اقتصاد در جوامع تبدیل شده است. یکی از مهم‌ترین شاخص‌ها در بورس اوراق بهادار، شاخص کل قیمت است که به‌طور معمول سهامداران و معامله‌کنندگان سهام بر مبنای آن، حرکت و جهت بازار را به‌صورت دوره‌‌ای اندازه‌گیری می‌کنند. رشد شاخص کل نشان‌دهندۀ برآیند رشد قیمت سهام یا رشد تعداد سهام معامله‌شده و در مجموع بیان‌کنندۀ رونق بازار است.

پژوهش حاضر برای سنجش ریسک، بر ارزش در معرض خطر به‌دست‌آمده از شاخص قیمت کل بورس اوراق بهادار تهران متمرکز شده است. به این معیار به‌دلیل توجه زیاد پژوهشگران، تحلیل‌گران، سرمایه‌گذاران، مؤسسه‌های مالی، نهادهای نظارتی و دیگر فعالان بازار توجه شده است. ازسوی دیگر، مدیریت ریسک، مشکلات بسیاری در رویارویی با رویدادهای فرین دارد. احتمال وقوع این نوع رویدادها بسیار کم است؛ ولی در صورت وقوع ممکن است علاوه بر پرهزینه‌بودن، اثرات بزرگی به‌همراه داشته باشد. افت‌های شدید بازار و کوتاهی مؤسسه‌های مالی بزرگ در ایفای تعهدات خود در بحران‌های مالی و بلایای طبیعی، نمونه‌هایی از این حوادث است. با توجه به اهمیت این حوادث، ارائۀ برآوردهایی از سنجه‌های ریسک فرین یکی از کلیدی‌ترین مسائل مربوط به مدیریت ریسک است.

داویسون و اسمیت^[11] (2004)، با استفاده از تعدیل مقادیر فرین الگویی را پیشنهاد کردند که در آن از حد آستانۀ  استفاده می‌شد. این الگو GPD نام گرفت. مک‌نیل و فری^[12] (2000)، روشی برای محاسبۀ ارزش در معرض خطر مبتنی بر دنبالۀ توزیع شرطی یک سری دارایی مالی دارای ناهمسانی واریانس، مطرح کردند و در آن از روش حداکثر درست‌نمایی برای برازش الگوی GARCH و برآورد نوسانات و از نظریۀ ارزش فرین برای برآورد دنبالۀ توزیع جدید الگوی GARCH استفاده کردند. لانجین^[13] (2000)، با بررسی بازده روزانۀ سهام بورس نیویورک (NYSE) به این نتیجه رسید که بازده روزانۀ این بازار از توزیع فرشه^[14] پیروی می‌کند که از خانوادۀ توزیع‌های ارزش فرین تعمیم‌یافته و دنبالۀ ‌پهن است. بایستروم^[15] (2004)، با استفاده از نظریۀ ارزش فرین، دنباله‌های توزیع تغییرات قیمت را بررسی کرد و نتیجه گرفت که نظریۀ ارزش فرین، بر مدیریت ریسک و مدیریت سبد دارایی در زمانی که نوسانات بازار زیاد است، تأثیر زیادی دارد. تانگ و شیه^[16] (2006)، ویژگی‌های حافظۀ بلندمدت قیمت‌های سه بازار معاملاتی آتی شاخص سهام را بررسی کردند. نتایج تجربی پژوهش آنها نشان می‌‌دهد الگوی GARCH(HYGARCH) با توزیع چولۀ
 استیودنت، معاملات آتی شاخص داوجونز را بهتر تشریح کرده است. تسی و چن^[17] (2011) با استفاده از نظریۀ ارزش فرین، وجود توزیع‌هایی با دنبالۀ پهن را در بورس کشورهای آسیایی بررسی کردند. بازۀ زمانی شاخص بورس در این پژوهش یکسان و از اکتبر 1989 تا اگوست 2009 در نظر گرفته شده است. کشورهای مطالعه‌شده‌ در این پژوهش عبارت‌اند از: هنگ‌کنگ، سنگاپور، تایوان، تایلند، اندونزی، مالزی، کرۀ جنوبی و ژاپن که با شاخص S&P آمریکا و شاخص بین‌المللی^[18] MSCI مقایسه شده‌ است. مبروک و سعدی^[19] (2012)، ارزش در معرض خطر را با استفاده از سه الگوی حافظۀ بلندمدت  و  و با پیش‌فرض‌های متفاوت برای توزیع خطاهای شاخص بازار سهام محاسبه کردند. آنها به این نتیجه رسیدند که با درنظرگرفتن عدم‌تقارن، الگوی کسری یکپارچه، عملکرد بهتری در پیش‌بینی ارزش در معرض خطر دارد. مهرآرا و عبدلی (2006)، با استفاده از الگوهای  تأثیر اخبار خوب و بد را بر نوسان بازده سهام در بورس اوراق بهادار تهران بررسی کردند. نتایج پژوهش آنها بیان‌کنندۀ آن است که اخبار خوب و بد تأثیر یکسانی بر نوسانات بازده می‌گذارد. شاهمرادی و زنگنه (2007) کاربرد چهار الگو از نوع الگوهای  و ارزش در معرض خطر را برای پنج شاخص عمدۀ بورس اوراق بهادار تهران برآورد کردند که واریانس ناهمسانی شرطی در آنها مشاهده می‌شود. با توجه به اینکه پهن‌بودن دنبالۀ توزیع احتمال داده‌ها دربارۀ شاخص‌های بررسی‌شده تأیید شده است، الگو‌های فرض توزیع  نیز برآورد شده است. نتایج نشان می‌دهد این گروه از الگو‌ها، رفتار میانگین و واریانس داده‌ها را به‌ روش مطلوبی توضیح می‌دهد و فرض توزیع  بهبودی در نتایج برآوردها ایجاد نمی‌کند. در برآورد ارزش در معرض خطر، نتایج به‌دست‌آمده بیان‌کنندۀ اهمیت توجه به پهن‌بودن دنبالۀ توزیع داده‌هاست؛ ضمن اینکه الگوی ریسک‌سنجی، حساسیت کمتری نسبت به نوع تابع توزیع احتمال دارد. کشاورزحداد و صمدی (2009)، تلاطم (گشتاور دوم بازده) شاخص بورس تهران را با استفاده از چند الگو از خانوادۀ  الگوسازی کردند؛ سپس دقت آنها را در تخمین ارزش در معرض خطر مقایسه کردند. نتایج پژوهش آنها نشان می‌دهد در سطوح اطمینان متفاوت برای تخمین ارزش در معرض خطر، الگوهای مختلف نتایج متفاوتی می‌دهد؛ ولی الگوی  در سطح معنی‌داری 5/2% بهترین عملکرد را بین الگوهای  دارد. کاظمی (2012) با محاسبۀ ارزش در معرض ریسک با استفاده از نظریۀ ارزش فرین، کاربرد این نظریه را در بورس اوراق بهادار تهران بررسی کرده است. او با تأکید بر چوله‌بودن توزیع بازده شاخص بورس اوراق بهادار تهران، از معیار نسبت خطا برای مقایسۀ کارآیی روش‌های سنجش ارزش در معرض خطر استفاده کرده است. سجاد و همکاران (2014) نیز برآورد ارزش در معرض خطر را در بورس اوراق بهادار تهران با استفاده از روش‌های مختلف ازجمله نظریۀ ارزش فرین در سه سطح اطمینان، برای بازده لگاریتمی شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران و نرخ برابری دلار و یورو به‌صورت روزانه محاسبه کرده‌اند. همچنین برای پیش‌بینی نوسانات بازده از الگوی  و برای بررسی کفایت و دقت الگوی‌های به‌ کار گرفته‌شده، از آزمون‌های نسبت شکست‌های کوپیک، کریستوفرسن^[20] و تابع زیان لوپز^[21] استفاده کرده‌اند. نتایج نشان داده است محاسبۀ ارزش در معرض خطر با استفاده از روش‌های سنتی لزوماً به نتایج مناسبی منجر نمی‌شود و در برخی موارد استفاده از نظریۀ ارزش فرین و درنظرگرفتن نوسانات شرطی برای داده‌ها موجب نتایج بهتری می‌شود. این نتایج در سطوح اطمینان‌ بالاتر مشهودتر است. اسلامی‌بیدگلی و همکاران (2013)، محاسبۀ ارزش در معرض ریسک شاخص بورس اوراق بهادار تهران را با استفاده از نظریۀ ارزش فرین و عملکرد روش پارامتریک در پیش‌بینی مقادیر  را با استفاده از برخی الگو‌های خانوادۀ حافظۀ بلندمدت مانند ،  و  بر سه توزیع آماری نرمال، تی‌استیودنت و تی‌استیودنت چوله در قیمت سبد نفتی اوپک بررسی کردند. نتایج نشان داده است پیش‌بینی مقادیر  یک‌روزه و ده‌روزه با استفاده از توزیع چوله، دقت و عملکرد بیشتری دارد و الگوی  در پیش‌بینی ارزش در معرض خطر بهتر از سایر الگوها عمل می‌کند. سارنج و نوراحمدی (2017) نیز با رتبه‌بندی آماری الگو‌های مختلف، ارزش در معرض ریسک و ریزش موردانتظار را با استفاده از رویکرد مجموعۀ اطمینان الگوی (MCS) برای صنعت بانکداری ازنظر آماری رتبه‌بندی کرده‌اند. همچنین با تأکید بر رویکرد ارزش فرین شرطی، رویکردهای مختلف ارزش در معرض ریسک و ریزش موردانتظار را بر داده‌های روزانۀ شاخص صنعت بانکداری طی دورۀ زمانی 1387 تا 1395 با تأکید بر رویکرد ارزش فرین شرطی رتبه‌بندی کرده‌اند. در مرحلۀ اول، برای بررسی اعتبار پیش‌بینی الگو‌‌های مختلف از روش‌‌های پس‌آزمایی پوشش برنولی و آزمون استقلال خطی برای VaR و آزمون مک‌‌نیل‌‌ و فری برای ES استفاده کردند. در مرحلۀ دوم، توابع زیان الگو‌‌های معتبر باقی‌‌مانده از مرحلۀ اول وارد تابع MCS شده و رتبه‌بندی آماری‌‌ صورت گرفته است. تابع زیان استفاده‌شده در الگوهای ‌‌VaR، تابع زیان داو و در الگوهای ES، اولسن است. نتایج نشان داده است در هر دو الگوی‌‌VaR  وES  و در سطح اطمینان 99%، رویکردهای ارزش فرین شرطی با فرض پسماندهای استانداردشدۀ نرمال، ارزش فرین شرطی با فرض پسماندهای استانداردشدۀ تی‌‌استیودنت و گارچ با فرض پسماندهای تی‌‌استیودنت، به‌ترتیب رتبه‌‌‌های اول تا سوم را دارند.

نظریۀ ارزش فرین نظریه‌ای است که بر دنباله‌های توزیع تمرکز دارد و توزیع مقادیر بسیار بزرگ یا بسیار کوچک را توصیف می‌کند. در این روش صرف نظر از اینکه داده‌ها از چه توزیع احتمالی پیروی می‌کند و با تمرکز بر دنبالۀ تابع توزیع تغییرات ارزش یک دارایی، ارزش در معرض خطر و ریزش موردانتظار محاسبه می‌شود. زمانی که بیشینۀ یک متغیر تصادفی الگوسازی می‌شود، نظریۀ ارزش فرین همان نقش پایه‌ای را بر عهده دارد که نظریۀ حد مرکزی در الگوسازی مجموع متغیرهای تصادفی ایفا می‌کند. در هر دو حالت، این نظریه‌ها به‌ترتیب توزیع حدی بیشینه‌ها و مجموع متغیرهای تصادفی را تعیین می‌کنند [1].

روش پژوهش.

الگوی استفاده‌شده در این پژوهش براساس الگوی بولرسلو^[22] (1986)، بیان می‌کند که واریانس شرطی با خطاهای پیش‌بینی یا مقادیر شوک‌های گذشته و با وقفه‌های خود همبستگی نشان می‌دهد. ساده‌ترین الگوی خودرگرسیونی عمومی مشروط بر ناهمسانی واریانس، الگوی  است که به‌صورت زیر نشان داده می‌شود:

اطلاعات مربوط به سری زمانی شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران نیز از درگاه مرکز پردازش اطلاعات مالی ایران جمع‌آوری شده است. بدین منظور سری زمانی شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران از ابتدای فروردین‌ماه 1388 تا انتهای اسفندماه 1394 در نظر گرفته شده است و بازدهی به‌صورت روزانه و لگاریتمی محاسبه شده است. بازدهی یک دارایی به‌وسیلۀ لگاریتم قیمت امروز بر قیمت روز گذشته محاسبه می‌شود.

، شاخص قیمت بازار سهام در دورۀ  است.

حافظۀ بلندمدت^[23]، بیان‌کنندۀ وابستگی قوی بین مشاهدات دور در یک سری زمانی منتسب است. پس از اینکه در ابتدای کار، هرِستدریافت که سری‌های زمانی ممکن است پدیدۀ حافظۀ بلندمدت را نمایش دهند، از اواسط دهۀ 1980 متخصصان اقتصادسنجی پس از پی‌بردن به مفاهیمی همچون ریشۀ واحد و هم‌انباشتگی در سری‌های زمانی، از وجود انواع دیگری از نامانایی و مانایی تقریبی آگاه شدند که فرایندهای موجود در بسیاری از سری‌های زمانی مالی را توجیه می‌کردند [27]. حالت‌های مختلف یک سری زمانی با حافظۀ بلندمدت در جدول (1) توضیح داده شده است.

جدول (1) حالت‌های مختلف پارامتر حافظه و ویژگی سری زمانی در هر یک از حالت‌ها
(لو، 1991)

در جدول (1)، اگر  باشد کوواریانس الگو ثابت است و اگر  باشد، ویژگی حافظۀ بلندمدت را دارد. زمانی که  باشد، تابع خود‌‌همبستگی به‌‌صورت هیپربولیکی کاهش می‌‌یابد و زمانی که  باشد، فرایند حافظۀ میان‌‌مدت پیش می‌‌آید. این فرایند نشان‌دهندۀ آن است که از متغیر بررسی‌شده بیش از حد تفاضل‌‌گیری شده است و در این مورد معکوس تابع خود‌‌همبستگی به‌‌صورت هیپربولیکی کاهش می‌‌یابد.

همان‌گونه که نظریۀ ارزش فرین راه‌حلی بدیهی برای الگو‌سازی حداکثرها و حداقل‌هاست، رویکرد فراتر از آستانه^[24] نیز روشی بدیهی برای الگو‌سازی تخطی‌ها (شکست‌ها) از یک آستانۀ بزرگ است؛ به‌ عبارت دیگر، تنها مشاهدات حداکثر یا حداقل مهم نیست؛ بلکه تخطی مشاهدات فرین از یک آستانۀ بزرگ نیز اهمیت دارد. اگر نمونۀ مشاهدات با  و تابع توزیع آن با  و مقدار سطح آستانه با  نشان داده شود،  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

تخطی (شکست) زمانی اتفاق می‌افتد که برای هر  ،  باشد. بر این اساس، مقدار اضافی فراتر از آستانه به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

و برای احتمالات :

به این ترتیب برای توزیع احتمال مقادیر اضافی فراتر از آستانۀ u:

که  نشان‌دهندۀ احتمال تخطی  حداکثر به اندازۀ  از آستانه  است؛ البته مشروط بر اینکه  از  فراتر رفته باشد. این احتمال مشروط را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

که در نتیجه رابطۀ زیر به وجود می‌آید:

با توجه به اینکه برای هر  ، ، توزیع احتمال متغیر  را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

رابطۀ 9 تنها برای  صادق است.

بالکما و دی‌هان^[25] (1974) و نیز پیکاندس^[26] (1975) طی قضیه‌ای نشان دادند برای هایی که به اندازۀ کافی بزرگ‌ است، تابع توزیع مقادیر فراتر از آستانه را می‌توان با توزیع تعمیم‌یافتۀ پارتو تقریب زد؛ زیرا با بزرگ‌شدن آستانه، توزیع مقادیر فراتر از آستانۀ  به توزیع تعمیم‌یافتۀ پارتو نزدیک می‌شود. الگوی اصلی برای رویکرد فراتر از آستانه، توزیع تعمیم‌یافتۀ پارتو^[27]  است [25]. تابع توزیع  به‌صورت تابع زیر تعریف می‌شود:

که درآن وقتی  باشد،  و  و اگر  باشد،  است. اگر  به‌صورت  تعریف شود، آنگاه توزیع تعمیم‌یافتۀ پارتو به‌صورت تابعی از  تعریف می‌شود:

تابع توزیع پارتوی تعمیم‌یافته دو پارامتر دارد؛ به  پارامتر شکل^[28] یا شاخص دم^[29] گفته می‌شود که مقادیر منفی، مثبت و صفر را اختیار می‌کند و به  پارامتر مقیاس^[30] گفته می‌شود که همواره مقادیر مثبت را اختیار می‌کند. محاسبۀ ارزش در معرض خطر مستلزم تخمین صدک‌های توزیع بازده یک دارایی است. برای انتقال صدک‌های مربوط به توزیع تعمیم‌یافتۀ پارتو به صدک‌های توزیع مادر، باید به‌گونه‌ای بین احتمالات این دو توزیع رابطه برقرار شود. به این منظور از رابطۀ زیر استفاده می‌شود:

طبق قضیۀ بالکما، دی‌هان و پیکاندس،  برای uهایی که به اندازۀ کافی بزرگ است، به توزیع تعمیم‌یافتۀ پارتو نزدیک می‌شود و از آنجا که برای ، ، می‌توان نوشت:

بعد از تعیین آستانه، مشاهدات فراتر از آستانه از نمونۀ مشاهدات جدا می‌شود. اگر تعداد مشاهدات فراتر از آستانه با  و تعداد کل مشاهدات نمونه با  نمایش داده شود، به‌راحتی می‌توان آخرین جملۀ سمت راست رابطۀ 13 را با برآوردکنندۀ تجربی زیر تخمین زد:

ارزش در ‌معرض خطر درصدی را به‌صورت زیر می‌توان نوشت:

ریزش مورد‌انتظار  درصدی نیز برابر است با:

البته این رابطه مشروط بر  است.

هم‌اکنون روش‌های پیش‌آزمایی متعددی برای ارزیابی دقت الگوهای  و ویژگی‌های آنها وجود دارد. بسیاری از این الگوها در سال‌های اخیر توسعه یافته است. الگوهای پیش‌آزمایی را می‌توان بر این اساس طبقه‌بندی کرد که آنها چه تعداد ویژگی الگو را آزمون می‌کنند. برخی از مهم‎ترین این الگوها عبارت‌اند از: آزمون کوپیک (1995) و آزمون انگل و منگانلی^[31] (2004).

1) آزمون کوپیک

اولین راه منطقی برای ارزیابی توانایی پیش‌بینی الگوهای  شمارش تعداد دفعاتی است که مقدار زیان واقعی از مقدار زیان پیش‌بینی‌شده توسط  بزرگ‌تر بوده است. یک معیار مهم در این زمینه توجه به تعداد یا نسبت تخطی‌ها^[32] یا نسبت شکست^[33] است. چنانچه ‌های هر دوره مستقل فرض شود، مقایسۀ نتایج سود و زیان تحقق‌یافته با ارزش در معرض خطر محاسبه‌شده، سبب یک توزیع دوجمله‌ای می‌شود. چنانچه مقدار زیان واقعی از زیان برآوردشده توسط الگو بیشتر باشد، این رخداد یک شکست محسوب می‌شود و اگر زیان واقعی کوچک‌تر از زیان برآوردشده باشد، یک موفقیت ثبت می‌شود. نسبت احتمالی کوپیک (LR) دارای توزیع مربع کای دو  با یک درجۀ آزادی است و آمارۀ زیر را دارد [13، 6]:

2) آزمون پوشش غیرشرطی

کوپیک (1995)، آزمون پوشش غیرشرطی دیگری را مطرح کرد. برای آزمون پوشش غیرشرطی، فرض صفر به این صورت بیان می‌شود که نسبت تعداد تخطی‌های مشاهده‌شده به کل تخطی‌ها  برابر با نسبت پیش‌بینی‌شده توسط الگوی  است؛ یعنی:

ارزش درست‌نمایی^[34] زیرفرض صفر از رابطۀ زیر به دست می‌آید:

بدین ترتیب پوشش غیرشرطی ازطریق آمارۀ آزمون نسبت به درست‌نمایی آزمون می‌شود:

چهارچوب نظری الگو‌های GARCH

الگوی واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو (ARCH) که نخستین بار توسط انگل (1982) مطرح شد و بعدها توسط بولرسلو(1986) تعمیم داده شد، ازجمله‌‌ الگوهایی است که برای تبیین نوسانات یک سری به کار می‌‌رود. پس از آن، انواع مختلف الگوی واریانس ناهمسانی شرطی معرفی شد. در حالت کلی فرایند مرتبۀ ‌ام  توسط معادلات زیر ارائه می‌شود:

در یکی از مشهورترین پژوهش‌های انجام‌شده دربارۀ الگوی ، بولرسلو (1986) تغییراتی در الگوی  ایجاد کرد و الگوی کلی‌تری به نام خودرگرسیونی عمومی مشروط بر ناهمسانی واریانس تعمیم‌یافته  ارائه کرد. ساده‌ترین الگوی خودرگرسیونی عمومی مشروط بر ناهمسانی واریانس، الگوی  است که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

الگوی عمومی  به‌صورت  نمایش داده می‌شود که  مرتبۀ عبارت  و  مرتبۀ عبارت  است و معادلۀ آن به‎‌صورت زیر است:

الگوی 23، نوع خاصی از الگوهای خودرگرسیونی عمومی مشروط بر ناهمسانی واریانس است [31، 18].

الگویFIGARCHاولین بار توسط بایلی^[35] و همکاران (1996) مطرح شد. در این الگو یک متغیر تفاضل کسری تعریف شده است که بین صفر و یک بوده است. فرم تصریحی معادلۀ‌  به‌صورت زیر بوده است:

اگر  باشد، الگوی  به الگوی GARCH و اگر  باشد، به الگوی IGARCH تبدیل می‌‌شود [28، 16].

تسه^[36] (1998) با ترکیب الگوی  معرفی‌شده توسط بایلی و همکاران (1996) با الگوی  نامتقارن معرفی‌شده توسط دینگ و گرنجر^[37] (1996) الگوی بسیار انعطاف‌پذیری برای واریانس شرطی معرفی کرد. الگوی  را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

که در آن  نشان‌دهندۀ اثر اهرمی و  جزء قدرت الگوست. زمانی که ، الگوی  به الگوی  تبدیل می‌شود [37، 35].

این الگو توسط داویسون و اسمیت (2004)، به‌وسیلۀ توسعۀ الگوی واریانس شرطی  معرفی شد. در این الگو همبستگی بین وقفه‌های اجزای اخلال به‌سرعت از بین نمی‌رود و به‌طور هیپربولیکی کاهش پیدا می‌کند. این الگوی واریانس شرطی به شرح زیر بیان می‌شود:

که در آن  و  بزرگ‌تر از صفرند؛ البته اگر  باشد، این الگو ماناست. اگر  باشد، سری واریانس ناماناست. اگر  الگو مانند الگوی  عمل می‌کند و اگر  باشد، مانند گارچ عمل می‌کند.

الگوهای مبتنی بر حافظۀ بلندمدت به‌شدت به مقدار پارامتر حافظۀ بلندمدت و نحوۀ میرایی توابع خودهمبستگی بستگی دارد. بر این اساس، در این بخش، پارامتر حافظۀ بلندمدت با معیار  به کمک نرم‌افزار  تخمین زده می‌شود. به‌طور کلی آزمون  نخستین بار توسط «گویگ و پورتر-هوداک (GPH) (1983) ارائه شد. این آزمون مبتنی بر تحلیل دامنۀ فرکانس است و از فن رگرسیون دوره‌نگاشت^[38] برای برآورد آن استفاده شده است؛ درواقع، این فن ابزاری برای تمایز بین روندهای کوتاه‌مدت و حافظۀ بلندمدت فراهم می‌آورد [12، 9]. آمارۀ آزمون  به تخمین پارامتر حافظۀ بلندمدت  محاسبه می‌شود که بر مبنای رگرسیون دوره‌نگاشت زیر است:

که در آن  و ، بیان‌کنندۀ پسماندهای الگوست. ، به تبدیل فوریۀ فرکانس  اشاره دارد. درنهایت  یک دوره‌‎نگاشت ساده است که به‌صورت زیر تعریف می‌‎شود:

بنابراین، مقدار آمارۀ آزمون  برابر با  (برآورد پارامتر حافظۀ بلندمدت ) است [16].

رابینسون^[39] (1995)، نوع دیگری از این تخیمن‌گر را ارائه داد که به آن به‌واسطۀ نوع بیان راست‌نمایی، خصوصیات مجانبی مطلوب و فرضیاتش توجه شد. این تخمین‌زن به نام تخمین‌زن نیمه‌پارامتریک نیمه‌گاوسی  شناخته شده است. تخمین‌زن  شبیه تخمین‌زن  براساس دوره‌نگاشت و با استفاده از تعریف  در شرایط  طراحی شده است. در اصل این تخمین‌زننده براساس لگاریتم دوره‌نگاشت طراحی شده است و به‌صورت زیر حل می‌شود:

ارزش  که مینیمم تابع  است، به ارزش واقعی  همگرا می‌شود، زمانی که  میل کند. گویگ و پورتر - هوداک (1983) مرتبۀ پهنای باند  را به‌واسطۀ ایستایی  برای  پیشنهاد دادند. هورویچ^[40] و همکاران (1998) این مرتبه را براساس کمینه‌سازی میانگین خطای مربعات  در نظر گرفتند. در کل، مقدار بزرگ‌تر ،  را سریع‌تر به  همگرا می‌کند. داده‌های پژوهش شامل 1695 دادۀ روزانه از تاریخ 05/01/1388 تا 28/12/1394 مربوط به شاخص کل قیمت ( ) است. 1162 مشاهدۀ اول (تا تاریخ 16/10/1392) برای تخمین و 533 مشاهدۀ باقی‌مانده برای پیش‌بینی داخل نمونه استفاده شده است. داده‌های قیمت روزانه با روش استاندارد زیر به بازدهی‌های روزانه تبدیل شده است:

که ، شاخص قیمت بازار سهام در دورۀ  است. در نمودار (2) تغییرات سطوح شاخص کل قیمت بورس اوراق بهادار تهران در بازۀ مطالعه‌شده نشان داده شده است که محور افقی تاریخ و محور عمودی مقدار شاخص قیمت کل در هر روز است. در نمودار (3) تغییرات بازده شاخص قیمت کل در طول دورۀ زمانی پژوهش نشان داده شده است. سری بازدهی شاخص قیمت کل بورس اوراق بهادار تهران، میانگین ثابت (مستقل از زمان) دارد. وجود روند در نمودار (3) ‌مشاهده می‌شود؛ به‌گونه‌ای که از ابتدای فروردین 1388 تا بهمن 1392 شاخص قیمت کل بورس اوراق بهادار روندی صعودی و طی دو سال بعد احتمالاً به‎دلیل رکود اقتصاد جهانی، کاهش نرخ جهانی محصولات راهبردی چون نفت، بلاتکلیفی معامله‌گران از نتیجۀ مذاکرات هسته‌ای، افزایش میزان سود بانکی، رکود حاکم بر بازار مسکن، خروج سهامداران، کاهش نقدینگی بازار و تأثیرگذاری تحریم‌ها بر میزان سوددهی برخی صنایع تا بهمن 1394 روندی نزولی داشته است.

نمودار (1) سری شاخص قیمت کل در دورۀ زمانی پژوهش

نمودار (2) بازدهی قیمت‌ها برای شاخص کل بین سال‌های 1388 تا 1394

یافته‌ها.

برای بررسی مشخصات عمومی و پایه‌ای سری بازده شاخص قیمت کل و برآورد الگو‌ها و تجزیه‌وتحلیل دقیق آنها، در ابتدا باید توصیف آماری سری بازدهی انجام شود. مهم‌ترین پارامترهای توصیف آماری داده‌ها ازجمله میانگین، میانه، انحراف معیار، حداکثر و حدقل داده‌ها، کشیدگی ^[41] و چولگی ^[42] و درنهایت آمارۀ جارکو ـ برا ^[43] در نمودار (3) نشان داده شده است. معیار کشیدگی به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

که در آن  برآوردکنندۀ واریانس نمونه است. کشیدگی توزیع نرمال برابر 3 است. میزان کشیدگی به‌دست‌آمده 645/7 و بزرگ‌تر از 3 است که نشان می‌دهد سری بازده، توزیع دنبالۀ پهن‌تر و رأس بالاتری نسبت به توزیع نرمال دارد. مقدار چولگی 2674/0 نیز نشان می‌دهد توزیع بازده، متقارن نیست و چوله به راست است.

نمودار (4) تابع خودهمبستگی شاخص قیمت کل بورس اوراق بهادار تهران را برای یک دورۀ طولانی‌مدت 100وقفه‌ای نمایش می‌دهد. سری‌های دارای چنین نمودار خودهمبستگی، بنا بر ادبیات موجود نشان‌دهندۀ وجود حافظۀ بلندمدت است [24].

نمودار (3) هیستوگرام سری زمانی بازده و شاخص‌های آمار توصیفی آن

نمودار (4)  سری لگاریتم شاخص قیمت کل بورس اوراق بهادار تهران

انتخاب تعداد عرض فرکانس مرتبۀ پایین
(پهنای باند) در تخمین پارامتر حافظۀ بلندمدت با روش‌های  و  از مباحث مهم در این نوع تخمین است؛ به‌طوری که مرتبۀ بالای عرض دوره‌نگاشت سبب اریب در تخمین  می‌شود؛ یعنی هرچه مقدار  بزرگ‌تر باشد، فرایند به‌سوی حافظۀ میان‌‌مدت (کوتاه‌‌مدت) پیش می‌رود و ازسوی دیگر، با درنظرگرفتن مرتبۀ بسیار پایین عرض دوره‌نگاشت، سبب افزایش تغییرپذیری نمونه‌گیری تخمین به‌علت کاهش اندازۀ نمونه می‌شود. به این منظور برای ارزیابی مستدل و محکم برآوردهای  و  برحسب انتخاب پهنای باند، چندین ارزش پهنای باند  انتخاب می‌شود؛ به‌طوری که تغییر ارزش‌ها تابعی از اندازۀ نمونۀ  خواهد بود و ازطریق  به‌واسطۀ  توسط نرم‌افزار  مشخص و تخمین زده می‌شود.

جدول (2) نتایج تخمین و آزمون‌های تشخیصی برای الگوی

نتایج حاصل از ارزیابی الگوی  در جدول (2)، با توجه به معناداری پارامترهای  به‌لحاظ آماری، نشان می‌دهد تمام سری‌های زمانی، نوسانات نامتقارن قوی دارد. براساس جدول (4) ضریب پاسخ نامتقارن از نوسانات به اخبار یعنی  برای تمام شاخص‌های مالی، چشمگیر و مثبت است. ضریب حافظۀ بلندمدت به‌دست‌آمده نیز 9819/0 است که بیان‌کنندۀ وجود حافظۀ بلندمدت در شاخص کل براساس الگوی برازش‌شده است. با مقایسۀ مقادیر معیارهای اطلاعات مربوط به انواع مختلف الگوی  به‌سادگی می‌توان دریافت که الگوی  کمترین مقدار آمارۀ اطلاعات آکائیک و شوارتز^[44] را دارد و بهترین تصریح برای تبیین الگوی رفتاری تلاطم موجود در سری بازدهی شاخص قیمت کل است. به‌طور کلی با مقایسۀ الگو‌های مختلف نوع  می‌توان نتیجه گرفت که عملکرد الگوی  بهتر از الگوهای  و  برای تمام سری مطالعه‌شده در این پژوهش است. این الگو برای به‌دست‌آوردن حافظۀ بلندمدت و عدم تقارن در نوسانات بازدهی مناسب است.

جدول (3) نتایج تخمین و آزمون‌های تشخیصی برای الگوی

در جدول (3)  مقدار حداکثر لگاریتم درست‌نمایی و  آمارۀ آزمون باکس - پیرس^[45] را برای باقی‌‎ماندۀ مربعات بازده تا مرتبۀ  سریال همبستگی بیان می‌کند.  همان آزمون  است که توسط انگل (1982) با استفاده از 10 وقفه مطرح شد. نمادهای  و  به‌ترتیب نشان‌دهندۀ معیارهای آکائیک و شوارز است. در داخل پرانتز سطح معناداری گزارش شده است.

با استفاده از نرم‌افزار  مقدار پارامترهای این الگو محاسبه شده است. برای اجرای روش  به تعیین آستانه نیاز است. نمودار (5) نشان‌دهندۀ شکل هیل بازده شاخص کل قیمت روزانۀ بورس اوراق بهادار تهران در بازۀ‌ زمانی مطالعه‌شده است. در نمودار ایجادشده از این مقادیر، محور افقی به ازای  (تعداد مشاهدات در آستانه) و محور عمودی هم مقادیر  در رابطۀ هیل را نشان می‌دهد. مقداری که برای مقدار آستانه در منابع مختلف بیان شده است، مقدار %5 انتهایی داده‌هاست. برای مثال از 1000 داده، مقدار دادۀ آستانه، دادۀ پنجاهم است. همان طور که پیش از این ذکر شد مقدار آستانه در جایی انتخاب می‌شود که برآوردکنندۀ هیل ثابت و پایدار باشد. تخمین‌گر هیل شاخص دنبالۀ  براساس  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

نمودار (5) شکل هیل سری زمانی بازدهی شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران

در رابطۀ بالا به ازای هر مقدار مختلف  بازده‌هایی که از  تجاوز کرده‌اند، داخل یک مجموعه به اسم مجموعۀ اکسترمم‌ها قرار داده شده است؛ سپس آنها به‌ترتیب صعودی مرتب شده و از اعضای این مجموعه استفاده شده است که در ادامه در جدول (4) نشان داده می‌شود که توسط فرمول برآوردگر هیل به ازای مقادیر مختلف  به دست می‌آید. همچنین از فرمول‌های زیر مقادیر  و  در رابطۀ زیر به دست می‌آید:

در ادامه  و  عبارت‌ است از:

بدین طریق مقادیر  و  به دست آمده است و در فرمول اصلی یعنی:

n تعداد کل داده‌های نمونه،  تعداد داده‌های فراتر از آستانه و  سطح اطمینان مدنظر است و ریزش مورد‌انتظار (ES) درصدی نیز برابر است با:

جدول (4) برآورد پارامتر

در جدول (4)،  تعداد کل مشاهدات نمونه و  تعداد مشاهدات فراتر از آستانۀ    درصد فراترها در نمونه است.  و  پارامتر مقیاس GPD و پارامتر شکل GPD در نمونه است. VaR و ES اندازۀ ریسک محاسبه‌شده برای باقی‌ماندۀ  با سطح اطمینان 99/0 است. نمودار (6)، ارزش در معرض خطر شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران را در سطح اطمینان 99/0 نشان می‌دهد. نتایج جدول (4) نیز بیان‌کنندۀ آن است که مقدار ارزش در معرض خطر و ریزش موردانتظار در سطح معنی‌دار 99 درصد برابر 2932/0- و 3263 /1- است؛ بدین معنا که مقدار زیان شاخص قیمت کل با سطح اطمینان 99 درصد، بیش از 2932/0- نخواهد بود. می‌توان گفت الگوی  در تعیین ارزش در معرض خطر موفق عمل کرده است. همان طور که ملاحظه می‌شود مقدار تخمین نقطه‌ای پارامتر شکل دنباله برای شاخص قیمت کل برای بازۀ زمانی مدنظر در صدک آستانه، مثبت است. همان طور که پیشتر توضیح داده شد در توزیع‌های با دنبالۀ پهن، شاخص دنباله مثبت است. تابع توزیع در چنین مواردی به تابع توزیع فرچت تمایل دارد.

نمودار (6) ارزش در معرض خطر برای شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران در سطح اطمینان 99/0