قیمت‌گذاری و تعیین زمان بهینۀ کاهش قیمت فروش کالای فاسد‌شدنی برای افزایش نرخ تقاضا

مقدمه

با گسترش رقابت برای جهانی‌شدن بازارها، سازمان‌ها به‌دنبال راه‌های مختلفی برای بهبود وضعیت رقابتی خود و جلب توجه بیشتر مشتریان هستند. در بسیاری از کسب وکارها، قیمت­گذاری مکانیزمی مرسوم برای جذب مشتریان بیشتر و مدیریت درآمد در نظر گرفته می­شود. قیمت­گذاری پویا روشی مناسب برای تعیین قیمت‌های مختلف در طول زمان است که در بسیاری از خرده­فروشی­ها، صنایع تجاری و بنگاه­ها شکل­های گوناگونی از این نوع قیمت­گذاری به‌ کار گرفته می‏شود.

قیمت­گذاری از عامل‌های مهم و مؤثر بر سطح و نوع تقاضای کالا است. زمانی که کالا فسادپذیر باشد، مسئلۀ‌ قیمت­گذاری اهمیت دوچندانی می­یابد؛ زیرا با ارائۀ راهکارهای مناسبِ قیمت­گذاری تقاضای این اقلام تا حد زیادی مدیریت و مانع از اتلاف سرمایه به‌دلیل فاسد‌شدن کالا می‌شود.

به‌طور‌کلی به کالاهایی که در طول زمان ارزش خود را از دست بدهند کالای فاسد‌شدنی گفته می­شود. کالاهایی مانند داروها، میوه و سبزیجات، کالاهای فصلی و مد^[i]، وسایل الکترونیکی و غیره کالاهای فاسد‌شدنی در نظر گرفته می­شوند. در این مقاله اصطلاح فاسدشدن برای کالاهایی به‌کار می­رود که به‌دلیل تغییرات سریع تکنولوژی یا معرفی محصولات جدیدِ رقبا ارزش خود را در طی زمان از دست می­دهند؛ برای مثال قیمت کالاهای مد باید درانتهای فصل سریعاً کاهش یابد؛ زیرا در‌غیر‌ این‌صورت باید دور ریخته شوند. لوازم یدکی هواپیماهای نظامی یکی از انواع کالاهای مد هستند که در صورت ارائۀ مدل جدید هواپیما غیرقابل استفاده می­شوند (خانلرزاده^[ii] و همکاران، 2014).

مرور ادبیات نشان می‏دهد مدل‌های موجود بیشتر به بحث کنترل موجودی پرداخته و کمتر مباحث مربوط به قیمت‌گذاری و تخفیفات قیمتی برای مشتریان را بررسی می‌کنند (وانگ^[iii]، 2012). با‌توجه‌به اهمیت طول عمر کالا و توجه  مشتری به تاریخ انقضای محصول، پایین‌آوردن قیمت در زمان نزدیک به تاریخ انقضا مکانیزمی تشویقی برای خرید کالا است؛ اما سوالی که در اینجا مطرح می­شود این است که زمان بهینه برای پایین‌آوردن قیمت و تخفیف با‌توجه‌به وابستگی تقاضا به قیمت و زمان چیست؟ در این مقاله برای پاسخ به این سوال، ابتدا مسئله‌ در قالب یک مسئلۀ‌ بهینه‏سازی ریاضی مدل‌سازی شده است و با حل این مدل، قیمت فروش و زمان بهینۀ تخفیف برای کالای فاسد‌شدنی تعیین شده است؛ به‌طوری‌که سود بنگاه حداکثر شود.

در ادامه، ادبیات موضوع بیان می‌شود. در بخش سوم ابتدا فرضیات و نمادگذاری مدل بیان، سپس تابع نرخ تقاضا در فاصلۀ زمانی‌های مختلف در دورۀ موردنظر بررسی شده است. در ادامه، مدل ریاضی مسئله‌ ارائه شده است و پس از اثبات وجود جواب بهینۀ سراسری و ارائۀ مثال عددی، با استفاده از الگوریتم ابتکاری مقادیر عددی قیمت بهینه و زمان بهینۀ تخفیف به دست آمده است. همچنین تحلیل حساسیت برای پارامترهای مدل درانتهای بخش سوم انجام شده است. درانتها در بخش چهارم نتیجه‌گیری و پیشنهادات آتی برای پژوهش ذکر شده است.

ادبیات موضوع

مدیریت درآمد، استفاده از قیمت­گذاری برای افزایش سود حاصل از دارایی­های محدود بنگاه است. مزیت اصلی مدیریت درآمد آن است که تغییرات در قیمت­گذاری به‌مراتب راحت‏تر از سرمایه­گذاری در دارایی­های بنگاه است. در‌صورتی‌که مدیریت درآمد به‌درستی صورت گیرد، ضمن افزایش سودآوری، رضایت مشتریان ارزشمند را از طریق دسترسی بهتر محصولات ارتقاء می­بخشد (چاپرا^[iv]، 2006). مدیریت درآمد، فرآیندی تحلیلی است که برای مدیریت ظرفیت و حداکثر‌کردن سودآوری ایجاد شده است (بیسی و دادا^[v]، 2007). پیش­بینی و نظارت دائمی تقاضا، کارایی و اثربخشی قیمت­گذاری را ارتقاء می­بخشد و نقش مهمی در ارتقای سودآوری بنگاه دارد. برای روشن‌شدن مطلب، تقاضا فصلی در نظر گرفته می‌شود. اگر تقاضا فصلی باشد، در برخی از مواقع دارای اوج تقاضا است. در بسیاری از زنجیره­های تأمین، اوج تقاضا در دوره‌ای خاص بسیار رایج است. تخفیف در دورۀ غیراوج روشی مناسب برای انتقال تقاضا به دوره­های غیراوج است. این شیوه، سود فروشندگان را افزایش می‌دهد و هزینۀ بخشی از مشتریان را کم می­کند، همچنین پتانسیل بیشتری برای ورود مشتریان در دورۀ تخفیف ایجاد می‏کند (پیماندوست، 1391). در این مقاله نیز برای انتقال تقاضا به دوره­های غیراوج از تخفیف قیمتی استفاده شده است. همچنین تابع نرخ تقاضایی که از زمان تخفیف استفاده می­شود با بخش غیرتخفیف متفاوت است.

در حوزۀ دیگری از پژوهش­های مرتبط، قیمت­گذاری و کنترل موجودی محصولات فاسد‌شدنی، با‌ هم ترکیب شده‏اند. راماسش^[vi] (2010) مقدار سفارش اقتصادی را زمانی تعیین می‌کند که فروشنده، قیمت را در زمان محدود کاهش می­دهد. الیون^[vii] (1966) از اولین کسانی بود که مدل موجودی را با در نظر گرفتن تقاضای وابسته به قیمت در نظر گرفته است. کوهن^[viii] (2003) مدل قیمت­گذاری و موجودی را در حالتی در نظر گرفت که نرخ فاسد‌شدن در طول زمان پیوسته بوده است. وی^[ix] (1995) سیاست بازپرسازی و قیمت­گذاری را با در نظر گرفتن تقاضای وابسته به قیمت در نظر گرفته است؛ به‌نحوی‌که این قیمت در طول زمان کاهش می‌یابد. وی (1997) و وی (1999)، مدل کوهن را گسترش داد و علاوه بر در نظر گرفتن تقاضای وابسته به قیمت، فاسد‌شدن کالا را به‌صورت تابع وایبل در نظر گرفت و مدل را در حالت تخفیف قیمت و بدون تخفیف در نظر گرفت. موخوپادهیای^[x] و همکاران (2005) مدل کوهن را با در نظر گفتن وابستگی نرخ فساد به زمان، بهبود دادند. بانرجی^[xi] و همکاران (2012) مدلی انعطاف‌پذیر ارائه کردند که مسئلۀ تعیین قیمت بهینه برای کالاهای فاسدشدنی را بررسی می‏کند. راجان^[xii] و همکاران (1992) و آباد^[xiii] (1996) سیستمی ترکیبی از قیمت­گذاری و موجودی را در فضایی قطعی در نظر گرفتند. آنها چنین فرض کردند که تقاضا تحت تأثیر عمر باقیماندۀ محصول قرار می­گیرد. همچنین تقاضا قطعی و تابعی کاهشی از قیمت و عمر محصول است. علاوه بر این، راجان و همکاران (1992) اظهار کردند محصولات فاسدشدنی دو ویژگی دارند که آنها را از مسئلۀ‌ رایج قیمت­گذاری جدا می­کند؛ این دو ویژگی، زوال فیزیکی موجودی و کاهش قیمت هر واحد موجودی هستند.

کیفیت بسیاری از محصولات قبل از خرید، عامل مهمی است که تصمیمِ خریدِ مصرف‌کننده را تحت تأثیر قرار می‏دهد. رزا دیاز^[xiv] (2006) بیان می­کند تأثیر قیمت بر تصمیمات مصرف­کننده به شیوۀ درک و ارزیابی قیمت بستگی دارد.

وقتی محصولات فاسدشدنی به تاریخ انقضای خود نزدیک می­شوند، بیشتر از تخفیف قیمت استفاده می­شود. تاجبخش و همکاران (2011) یک مدل موجودی با قیمت‌های تخفیفی تصادفی و با روش آنالیز عددی، طراحی کردند که صرفه­جویی هزینه را از طریق ارائۀ تخفیف نشان داد. لی^[xv] و همکاران (2006)، از رویکرد قیمت­گذاری پویا برای بهینه­سازی سود زنجیرۀ خرده‌فروشی استفاده کرده­اند، هزینۀ تغییرات قیمت و عدم‌قطعیت در رفتار مصرف‌کننده که با تغییر قیمت‌ها ایجاد می شود، اجرای مدل قیمت­گذاری پویا را در عملیات خرده‌فروشی دشوار می­کند.

در پژوهش‌های صورت‌گرفته در حوزۀ ترکیبی سفارش­دهی و قیمت­گذاری برای کالاهای مذکور، تنها چند مدل توسعه داده شده است که یا قطعی بوده است یا مدل­هایی تصادفی با توزیع شناخته شده هستند (وانگ، 2012). راجان و همکاران (1992) و آباد (1996) خط­مشی­های قیمت­گذاری و سفارش­دهی برای تقاضاهای قطعی را توسعه داده­اند. بهاتاچارجی و رامش^[xvi] (2000) مدل چند‌مرحله­ای از موجودی انبار و قیمت­گذاری را ارائه دادند که کالا دارای عمر ثابت و تقاضای قطعی است و مسئله‌ در قالب برنامه‏ریزی­ پویا مدل‌سازی شده است. در مدل آنها اثبات می­شود حداکثر سود به‌صورت پیوسته و مقعر است. بیسی و دادا (2007) سفارش­دهی پویای بهینه و خط‌مشی­های قیمت­گذاری برای خرده‌فروشانی با تقاضای ترکیبی و حساس نسبت به قیمت را بررسی کرده‌اند. 

همچنین اگر مدل‌سازی مسئله‌ در فضای زنجیره تأمین انجام شود رقابت بین اعضای زنجیره برای کسب سود بیشتر، شکل می­گیرد. ژانگ^[xvii] و همکاران (2015) مدل زنجیره تأمین با یک تولیدکننده و یک خرده­فروش را برای اقلام فاسدشدنی با نرخ زمان و تقاضای وابسته به قیمت را در نظر گرفتند. آنها الگوریتمی برای به دست ­آوردن قیمت و استراتژی­های سرمایه­گذاری فن‏آوری حفاظت طراحی کرده­اند و هر دو سناریوی متمرکز و غیرمتمرکز را بررسی کرده­اند.

در این مقاله قیمت‏گذاری کالای فاسد‌شدنی در شرایط تخفیف مدنظر قرار می­گیرد و با‌توجه‌به اهمیت فروش این محصولات در دورۀ عمر آنها از نظر مشتری، پیگیری سیاستی ضروری است تا مشتریان به خرید بیشتر تشویق شوند. همچنین سیاست تخفیف همراه با هماهنگ­سازی تابع نرخ تقاضا در دورۀ تخفیف مطرح می­شود؛ یعنی در بازه­ای که تخفیف وجود ندارد نرخ تقاضا، تابعی کاهشی از زمان و قیمت است و در دورۀ تخفیف، تابع نرخ تقاضا ابتدا نسبت به زمان افزایشی است و با گذشت زمان کاهشی می­شود. در ادبیات بررسی‌شده، تخفیفِ قیمتی برای مشتری نهایی به‌نحوی‌ در نظر گرفته شده است که تقاضا را تحت تاثیر قرار داده و تابع نرخ تقاضا تغییر کند؛ برای مثال میهمی و کریمی^[xviii] (2014) تغییر تقاضا بعد از تبلیغات را با ضریبی در تابع نرخ تقاضا نشان داده­اند؛ در‌حالی‌که در دنیای واقعی با اعلام تخفیف، تابع نرخ تقاضایِ کالای فاسد‌شدنی تغییر می‏کند و در هیچ‌کدام از پژوهش‌های قبلی به آن اشاره نشده است. در ادامه با معرفی مفروضات و نمادگذاری، مسئله‌ مدل‌سازی می­شود.

مفروضات و نماد‌گذاری: در این قسمت مدل قیمت‌گذاری همراه با تخفیفِ قیمتی برای کالای فاسد‌شدنی توسعه داده شده است. در این مسئله‌ فرض می­شود کمبود مجاز نیست و مقداری که در ابتدای دوره سفارش داده می­شود برابر با تقاضای کل دوره است؛ بنابراین درانتهای دوره نیز مازاد موجودی وجود ندارد. همچنین فرض می­شود تقاضا تابعی قطعی از قیمت و زمان است که با نزدیک‌شدن به تاریخ انقضای محصول (انتهای دوره) تخفیفِ قیمتی برای محصول در نظر گرفته می­شود.

سایر مفروضات مسئله‌ به‌شرح ذیل است:

1- همۀ پارامترهای مدل قطعی هستند؛

2- سیستم موجودی، تک‌محصولی و بدون محدودیت است؛

3- مدت زمان تحویل برابر با صفر است؛

4- افق زمانی، محدود و برابر با T در نظر گرفته شده است؛

5- مدل‌سازی برای دورۀ T انجام می­شود؛

6- کمبود مجاز نیست؛

7- محصول فاسد‌شدنی است و با نزدیک‌شدن به تاریخ انقضا ارزش آن نزد مشتری کم می­شود.

نمادها و متغیرهای تصمیم: نمادهای استفاده‌شده در مدل‌سازی  مسئله‌ به‌شرح زیر است:

D₁(p,t): نرخ تقاضای محصول در بازۀ زمانی قبل از تخفیف که بستگی به قیمت و زمان فروش دارد؛

D₂(p,t): نرخ تقاضای محصول از زمان تخفیف که بستگی به قیمت و زمان فروش دارد؛

ED_t: مقدار تقاضا تا زمان t؛

C: هزینۀ خرید هر واحد کالا؛

T: طول دورۀ برنامه‏ریزی؛

Q^*: میزان سفارش بهینه در ابتدای دوره؛

a: درصد تخفیف برای کالای فاسد‌شدنی؛

t: زمان تخفیف؛

t^*: زمان بهینۀ تخفیف؛

P: قیمت فروش هر واحد محصول فاسد‌شدنی؛

P^*: قیمت فروش بهینۀ هر واحد کالای فاسد‌شدنی؛

TP^*: مقدار بهینۀ سود به‌ازاءِ قیمت بهینه و زمان بهینۀ تخفیف (TP^*=TP(p^*,t^*)).

تابع نرخ تقاضا: در این مقاله، نرخ تقاضای محصول تابعی از قیمت و زمان است. با‌توجه‌به اهمیت زمان در محصولات فاسد‌شدنی، تغییرات این تابع نسبت به زمان، به‌صورت نمایی در نظر گرفته می­شود. همچنین به‌علت اینکه قیمت عامل مهمی در خرید محصول فاسد‌شدنی است، این تابع نسبت به قیمت به‌صورت خطی در نظر گرفته می­شود. فرض می­شود نرخ تقاضا به‌صورت رابطۀ 1 است (تساو^[xix]، 2008).

و مقدار تقاضا تا زمان t از رابطۀ 2 محاسبه می­شود.

با‌توجه‌به تقسیم دورۀ T، تابع قیمت به‌صورت رابطۀ 3 در نظر گرفته می­شود.

در دورۀ دوم با وجود تخفیف، نرخ تقاضا به‌صورت صعودی افزایش می­یابد و به‌تدریج دوباره کاهش می­یابد. این تابع به‌صورت زیر تعریف شده است:

مدل‌سازی تابع هدف: در ابتدای دوره، موجودی به‌اندازۀ Q سفارش داده و بلافاصله دریافت می‏شود (زمان تدارک صفر در نظر گرفته می‏شود). تغییرات موجودی تحت تاثیر تقاضا است. با نزدیک‌شدن به تاریخ انقضاء برای افزایش تقاضا، تخفیفِ قیمتی برای محصول در نظر گرفته می­شود و نمودار مربوط به آن در شکل (1) نیز ترسیم شده است. براساس نمودار نشان داده‌شده، طول یک دوره به دو بازۀ زمانی تقسیم می­شود:

الف. بازۀ زمانی [0,t]: در این بازه سرعت افزایش نرخ تقاضا به‌دلیل گذشت زمان کاهش می­یابد. محصول در بازۀ [0,t] با قیمت p به فروش می­رسد.

ب. بازۀ زمانی [t,T]: در این بازه محصول با قیمت تخفیفی p(1-a) به فروش می­رسد. سطح موجودی با‌توجه‌به قیمت تخفیفی با سرعت بیشتری نسبت به بازۀ قبل کاهش می­یابد. در این بازه به‌دلیل وجود تخفیف و اطلاع مشتریان، رشد ناگهانی در نرخ تقاضا به وجود آمده و سپس سرعت آن به‌تدریج کاهش می­یابد. با‌توجه‌به روند بیان‌شده، تابع نرخ تقاضا به‌صورت شکل (1) در نظر گرفته می­شود.

شکل 1- نمودار نرخ تقاضا برای محصول فاسد‌شدنی همراه با تخفیف قیمت

ابتدا مقدار تقاضا در دورۀ [0,t] به‌صورت رابطۀ 5 محاسبه می­شود.

مقدار تقاضا در فاصلۀ [t,T] نیز به‌صورت رابطۀ 6 محاسبه می­شود.

در این مقاله قیمت و زمان تخفیف متغیر در نظر گرفته شده‌اند. درآمد حاصل از فروش محصول با قیمت p در فاصلۀ [0,t] و درآمد حاصل از فروش با قیمت تخفیفی p(1-a) در فاصلۀ [t,T] به‌صورت رابطۀ 7 محاسبه می­شود.

هزینۀ مدل، تنها شامل خرید محصول از  تأمین‌کننده است؛ بنابراین تابع سود به‌صورت رابطۀ 8 است.

نتایج و جواب بهینه: هدف اصلی این مقاله، محاسبۀ مقادیر بهینۀ t و p به‌نحوی است که سود حاصل حداکثر شود. از تابع سود نسبت به p و t مشتق گرفته و برابر صفر قرار داده می‌شود تا متغیرهای تصمیم محاسبه شود. برای یافتن مقدار بهینۀ دستگاه معادلات هم‌زمان 9 و 10 باید حل شود تا معادلات 11 تا 13 به دست آید.

قضیه: جوابی که از معادلات (11) و (12) به دست می­آید دارای شرایط درجۀ دوم برای حداکثر‌سازی تابع هدف سود خرده‌فروش ( ) به‌صورت سراسری است.

اثبات: برای آنکه نشان داده شود مقدار بهینۀ به‌دست‌آمده برای تابع TP حداکثر سراسری است، باید ابتدا ماتریس هشین تابع سود نسبت به t^* و p^* بهینه محاسبه شود. در‌صورتی‌که عنصر اول این ماتریس منفی و دترمینان آن بزرگتر از صفر باشد اثبات کامل می­شود؛ بنابراین نشان داده می‏شود که این شرایط برقرار است.

با ساده‌سازی مقدار دترمینان رابطۀ 16 به دست می‌آید.

برای اثبات مثبت‌بودن Det(H)  به‌صورت زیر عمل می­شود:

ابتدا از Det(H) نسبت به هریک از متغیرهای مسئله‌ یعنی p و t مشتق دوم گرفته می‏شود. منفی‌بودن مشتق دوم نشان‌دهندۀ این است که تابع Det(H) در هر برش از t نسبت به p و در هر برش از p نسبت به t مقعر است. سپس نشان داده می­شود این تابع دو جواب برای هرکدام از متغیرهای p و t دارد؛ بنابراین مقدار Det(H) در بازۀ بین دو جواب که بازۀ مطلوب است، مثبت و اثبات کامل می‏شود.

مقدار مشتق دوم Det(H) نسبت به p به‌صورت زیر است. با کمی دقت مشخص می­شود تک‌تک عبارات منفی است و در‌نهایت جمع آنها منفی می­شود.

با حل Det(H)=0 تنها دو مقدار برای p به دست می­آید و با‌توجه‌به منفی‌بودن مشتق دوم آن، واضح است تابع Det(H) بین دو ریشۀ به‌دست‌آمده در بالای محور عمودی قرار دارد و مثبت است. مقادیر به‌دست‌آمده برای p به‌صورت شکل (2) است (به‌دلیل حجم بالای محاسبات عبارات به‌دست‌آمده مختصر نشان داده شده است).

شکل 2- محاسبات مربوط به مقادیر p در نرم‏افزار mathematica

به‌همین ترتیب مراحل فوق برای متغیر t نیز انجام شده است. در ادامه شکل مربوط به تابع Det(H) نسبت بهp  و t در بازه­های مشخص‌شده رسم شده است. همان‌طورکه در شکل 3 و 4 مشاهده می­شود منحنی در بالای محور افقی قرار دارد و مقدار آن مثبت است. نمودار تابع Det(H) برای مثالِ مطرح‌شده در بخش 3-5 در بازه­های [1000، 400] p= و [2، 5/0] t= رسم شده است.

شکل 3- نمودار تابع Det(H) نسبت به p

شکل 4- نمودار تابع D(H) نسبت به t

برای انجام محاسبات از نرم‌افزار Mathematica9 استفاده شده است. با‌توجه‌به اثبات مثبت‌بودن دترمینان ماتریس هیشین در نقطۀ بهینه، جواب به‌دست‌آمده حداکثر سراسری است. در روش دوم ارائه‌شده، برای هر مثال عددی مقدار دترمینان ماتریس هیشین محاسبه می‌شود. این روش ارزش کمتری دارد؛ ولی با‌توجه‌به زیاد‌بودن تعداد پارامترها در روش نخست این روش استفاده می‌شود. در مثال عددی ارائه‌شده در این مقاله دترمینان محاسبه‌شده مثبت است.

مقدار جواب بهینه

الگوریتم: با‌توجه‌به توضیحات بیان‌شده، برای محاسبۀ مقادیر مدنظر از الگوریتم ساده­ای برگرفته از ادبیات استفاده می­شود (میهمی، 1389):

1. مقدار اولیۀ p₁ برای قیمت تعیین می­شود و p_j=p₁ قرار داده می­شود؛

2. برای p_j از معادلۀ (11) مقدار بهینۀ زمان تخفیف به دست می­آید (t_j)؛

3. با‌توجه‌به مقدار t_j به‌دست‌آمده در مرحلۀ 2 و استفاده از معادلۀ (12) مقدار p_j+1 تعیین می­شود؛

4. اگر اختلاف بین p_j, p_j+1  (خطا) کمتر از d باشد، قرار داده می‌شود p^*= p_j+1 و =t_j t^* مقادیر بهینه هستند. الگوریتم متوقف می­شود و به مرحلۀ 5 می­رود. اما اگر اختلاف بین p_j, p_j+1  بزرگ باشد، p_j= p_j+1 و بازگشت به مرحلۀ 2 انجام می‌گیرد (مقدار خطای قابل گذشت 0001/0 فرض می­شود یعنی اگر 0001/0< | p_j- p_j+1| باشد الگوریتم متوقف می‌شود).

5. مقدار TP^* با جایگذاری p^*و t^* با‌توجه‌به معادلۀ (8) محاسبه می­شود.

مثال عددی: برای محاسبۀ مقادیر عددی توابع و پارامترها به‌صورت زیر در نظر گرفته می­شود و نتایج در جدول 1 آمده است.

D₁(p,t)=(5/0-500p)e^98/0-t, D₂(p,t)=(5/0-500p)t³e^98/0-t, T=2, c=200, =3/0

P*=826/694, t^*=008/1, TP^*=612/104558, Q^*=945/293

جدول 1- نتایج مثال عددی

نمودار تابع هدف: تابع هدف به‌صورت شکل(5) است. این تابع دارای حداکثر سراسری است و برای بازه­های قیمت از 400 تا 1000 و زمان تخفیف از 5/0 تا 2 رسم شده است. محور عمودی نیز مقدار تابع هدف است. شکل (6) مقدار سود را به‌ازاءِ قیمت‌های مختلف نشان می­دهد.

شکل 5- نمودار سه بعدی تابع هدف حالت دوم

شکل 6- مقدارتابع سود به ازای مقادیر مختلف قیمت و t^*

شکل (7) مقدار سود را به‌ازاءِ زمان­های مختلف برای تخفیف نشان می­دهد.

شکل 7- مقدارتابع سود به ازای مقادیر مختلف زمان و p^*

تحلیل حساسیت: در این قسمت تأثیر تغییرات پارامترهای مسئله‌ روی t₁^*، p^* ،TP^*  و Q^* بررسی می­شود و براساس آن نتایج مدیریتی استخراج می­شود. نتایج تحلیل حساسیت برای مثال ارائه‌شده در جدول (1) نشان داده است.

 تاثیر تغییرات در مقدار پارامترهایc, T و a بر t^*، p^* ،TP^*  و Q^*  براساس مثال عددی، در جدول 2 نشان داده شده است. تحلیل حساسیت بوسیلۀ تغییر در مقدار هر پارامتر به‌میزان 50%+، 25%+، 25%- و 50%- و ثابت نگه داشتن سایر پارامترها انجام شده است. نتایج مشاهده‌شده از تغییرات پارامترها به‌صورت جدول 2 خلاصه شده است.

جدول 2- تحلیل حساسیت با‌توجه‌به پارامترهای مدل

1. هنگامی که مقدار پارامترهای c، T و a افزایش می­یابد، قیمت فروش بهینۀ خرده‌فروش p^* افزایش می­یابد. به‌علاوه p^*  نسبت به تغییر در پارامترهای c، T و a در جهت مثبت حساس است. این منطقی است؛ زیرا هزینۀ خرید و تخفیف تأثیر زیادی روی قیمت فروش دارند.

2. هنگامی که مقدار پارامتر T افزایش می­یابد، زمان بهینۀ t^* کاهش می­یابد؛ در‌حالی‌که با افزایش، مقدار پارامترهای c یا a افزایش می­یابد؛ یعنی افزایش هزینۀ خرید و درصد تخفیف موجب می­شود زمان تخفیف دیرتر شروع شود.

3. هنگامی که مقدار پارامترهای T یا a افزایش یابد، مقدار سفارش اقتصادی Q^* افزایش می­یابد. با‌توجه‌به تخفیف، افزایش به‌کندی انجام می­شود. همچنین با افزایش c مقدار سفارش اقتصادی کاهش می­یابد؛ زیرا هزینۀ خرید موجب کاهش مقدار سفارش می­شود.

4. هنگامی که مقدار پارامترهای c یا a افزایش می­یابد، تابع سود بهینه به‌ازاءِ واحد TP^* کاهش می­یابد. این نشان می­دهد  هزینه و تخفیف دیرهنگام اثر منفی روی سود نهایی دارند. همچنین با افزایش دورۀ فروش T سود نهایی افزایش می­یابد.

نتیجه‌گیری

در این مقاله مدل قیمت‌گذاری برای کالای فاسد‌شدنی در شرایط تخفیف فروش ارائه شد. در مدل‌سازی مسئله‌ فرض شده است با اعلام کاهش قیمت فروش، نرخ تقاضا تغییر محسوس دارد و تقاضا تابعی از قیمت و زمان است. در این مقاله اثبات شد تابع هدف سود به‌ازاءِ مقادیر بهینۀ قیمت و زمان تخفیف، بهینه و منحصر‌به‌فرد است. در‌انتها با استفاده از الگوریتمی ساده مثال عددی مدل و نتایج با استفاده از تحلیل حساسیت روی پارامترهای مدل تشریح شد. مدل معرفی‌شده در این مقاله مدلی جامع و کامل است و نسبت به مقادیر مختلف پارامترهای تابع نرخ تقاضا منعطف مقاله است. مدل ارائه‌شده در این پژوهش از چند جهت می­تواند گسترش یابد، نرخ تقاضا در این مقاله به‌صورت قطعی و وابسته به زمان در نظر گرفته شده است؛ با احتمالی‌کردن آن می­توان موضوع مناسبی برای پژوهش‌های آتی تعریف کرد. همچنین می­توان درصد تخفیف را متغیر در نظر گرفت. از جنبۀ دیگر در نظر گرفتن سیاست‌های تبلیغات، تأخیر در پرداخت‌ها و مدل‌های هماهنگی در سیستم (زنجیره تأمین) و بررسی نتایج حاصل است.