1- مقدمه[1]

به مرور زمان با رشد ارتباطات اینترنتی بی‌سیم، ایده‌های جدیدی در رابطه با بهره‌وری بهینه از طیف و ارتباط مستقیم ماشین‌ها[i] در قالب نسل پنجم مخابرات بی‌سیم مطرح شده‌اند [1]. افزایش زیاد تعداد کاربران و حجم مخابره داده، طولانی‌ترشدن عمر مفید باتری ادوات بی‌سیم، استفاده از موج میلیمتری[ii] در مخابرات برد کوتاه، کاربرد مایمو انبوه[iii]، دسترسی به مدل مبتنی بر اَبر[iv] و کاهش تأخیر ارتباط نقطه به نقطه ازجمله اهداف معرفی این نسل جدید هستند [2،3].

استفاده از زیرحامل‌های فرکانسی متعامد مجاور که با عنوان OFDM[v] شناخته می‌شوند، برای سال‌ها یکی از روش‌های معمول مدولاسیون چندحاملی در استانداردهای مخابراتی بوده‌اند. مدولاسیون OFDM با وجود مزایای خود ازجمله سادگی پیاده‌سازی، گزینۀ مناسبی برای پاسخگویی به نیازهای نسل پنجم نیست [3]. عامل اصلی این موضوع نبود انعطاف در انتخاب فیلتر شکل‌دهندۀ پالس و درنتیجه، مشکلاتی نظیر انتشار خارج باند شدید در این سیستم ‌است [4].. همچنین در سیستم OFDM امکان سنکرون‌سازی دقیق در میان زیرحامل‌ها به علت حساسیت به انحراف فرکانسی، وجود ندارد؛ درنتیجه، مدولاسیون کاملاً متعامدی نیست [2،3]. بنابراین سیستم‌های جایگزین برای دستیابی به اهداف نسل پنجم، پیشنهاد شده‌اند.

سیستم‌ FBMC[vi] معروف‌ترین سیستم چندحاملی متناسب با نیازهای آینده مخابرات به شمار می‌آید [5]. فرم کلی پیاده‌سازی مدولاسیون FBMC مبتنی بر بانک فیلتر و به کمک کانولوشن خطی و شکل‌دهی خطی پالس است. ازجمله مزایای این سیستم، مقاومت در برابر ‌انحراف زمانی و فرکانسی و همچنین بهره‌وری طیفی مناسب است [6]. تاکنون سه ساختار CMT[vii]، FMT[viii] و [ix]SMT برای این سیستم ارائه شده‌اند [7]. در سیستم SMT با توجه به کیفیت پاسخ فرکانسی فیلترها، اگر تعداد زیرحامل‌های استفاده‌شده در پهنای باند معین زیاد باشد، پاسخ فرکانسی کانال در باند گذر فیلتر تقریباً ثابت فرض می‌شود. در چنین شرایطی همسان‌سازی کانال با استفاده از یک همسان‌ساز تک ضریبی در حوزۀ فرکانس، انجام می شود [7]. این نکته باعث بهبود بهره‌وری طیفی سیستم SMT در مقایسه با سیستم OFDM می‌شود و در صورت استفاده از تعداد زیرحامل‌های کمتر در پهنای باند معین، برخلاف OFDM استفاده از همسان‌ساز تک‌ضریبی مطلوب نیست؛ بنابراین سیستم SMT با تعداد کم زیرحامل در کانال فرکانس انتخابی به استفاده از همسان‌سازهای چندمرحله‌ای پیچیده نیاز دارد [8].

در چند سال اخیر نوع دیگری از سیستم‌های چندحاملی بر مبنای شکل‌دهی چرخشی پالس پیشنهاد شده‌اند که با استفاده از کانولوشن چرخشی، یک بلوک دو بعدی از سمبل‌های داده را مدوله می‌کند که در زمان - فرکانس گسترده شده است [9]. ‌نخستین عضو این خانواده با عنوان [x]GFDM  در سال 2009 ارائه شد [9].

در مخابره یک پیام، زمان گذار[xi] در ابتدا و انتهای دنباله پیام مشاهده می‌شود که به علت صفرنبودن دامنۀ لوب‌های جانبی فیلتر فرستنده در حوزۀ زمان ایجاد شده است. در مدولاسیون GFDM برخلاف خانواده FBMC، به علت وجود خاصیت تناوب چرخشی زمانی - فرکانسی، زمان گذار و تأخیر ناشی از آن، حذف شده است [10]. همچنین در سیستم GFDM به کمک خاصیت بلوکی، طول پیشوند گردشی نسبت به حجم داده انتقالی، در مقایسه با سیستم‌های مرسوم کاهش یافته است [11]. با وجود این، به دلیل عدم‌تعامد، پیچیدگی اضافی برای حذف تداخل به سیستم تحمیل می‌شود و هیچ‌کدام از گیرنده‌های سیستم GFDM، نمی‌توانند از افت عملکرد گیرنده (از نظر میزان خطای بیت[xii] (BER))، نسبت به سیستم OFDM جلوگیری کنند [11].

درصورتی‌که سیستم‌های FBMC به‌صورت بلوکی، مشابه آنچه در مورد GFDM وجود دارد، پیاده‌سازی شود، مشکل امکان‌نداشتن افزودن پیشوند گردشی و تبعات ناشی از آن رفع می‌شود. چنین طرحی برای سیستم FMT با عنوان CB-FMT ارائه شده است [12]. که متأسفانه مشکل افت بهره‌وری طیفی در دو بعد زمان - فرکانس دارد [13]. نمونۀ دیگری از تبدیل کانولوشن خطی به چرخشی برای سیستم SMT در [13] پیشنهاد شده است که با عنوان
C-SMT نیز شناخته می‌شود [14]. ترکیب عملکرد دو سیستم SMT و GFDM بر مبنای جداسازی مؤلفه‌های حقیقی و موهومی سمبل داده در مدولاسیون GFDM، در [15] نیز مطرح شده‌اند.

واضح است که سیستم C-SMT تنها در صورتی جایگزین مناسبی برای سیستم OFDM است که علاوه بر حفظ مزایای اصلی OFDM، به بهبود ناکارآمدی‌های آن نیز کمک کند. یکی از گزینه‌های تأکیدشده دربارۀ OFDM عملکرد مناسب آن از نظر معیار BER است و همان‌طور که اشاره شد سیستم GFDM از این نظر هم‌پای سیستم OFDM حرکت نمی‌کند. حال این سوال مطرح می‌شود: آیا سیستم C-SMT که مشابه GFDM در ساختار خود از کانولوشن حلقوی استفاده مکند، از نظر معیار BER چگونه عملکردی دارد. نویسندگان در [14] نشان داده‌اند که در صورت استفاده از پیشوند گردشی و پنجره‌گذاری، سیستم C-SMT از نظر انعطاف شکل موج، بهره‌وری طیفی، چگالی طیف توان، تعامد در کانال چندمسیره و BER نسبت به تعدادی از پرکاربردترین سیستم‌های چندحاملی در جایگاه یکسان و یا بهتری قرار می‌گیرد؛ اما بیشتر نتایج حاصله در [13] تنها به کمک شبیه‌سازی به‌دست آمده‌اند؛ ازاین‌رو، در این مقاله سعی شده است ارزیابی معیار BER در سیستم C-SMT به هر دو صورت تئوری و شبیه‌سازی بررسی شده است. حاصل مطالعه نشان می‌دهد نتایج تئوری و شبیه‌سازی کاملاً منطبق هستند. میزان BER حاصله در سیستم C-SMT با تقریب خوبی مشابه میزان خطای سیستم OFDM است؛ عملکرد سیستم C-SMT مشابه ارسال داده [xiii] PAM است و خطای اضافی ناشی از اعمال مدولاسیون ایجاد نمی‌شود. همچنین به‌منظور مقایسه بهتر شبیه‌سازی هر چهار سیستم OFDM، GFDM، SMT و C-SMT در حالت AWGN و کانال محوشدگی رایلی انجام شده است که نتایج آن علت ارائه و اهمیت مطالعه سیستم C-SMT را با وجود دو سیستم GFDM و SMT، مشخص‌تر می‌کند.

بنابراین ادامه مقاله به این صورت خواهد بود: مدل سیستم در بخش 2 ارائه شده است. بخش 3 روابط ریاضی BER در دو سیستم OFDM و C-SMT، محاسبه و ارزیابی صحت آن در بخش 4 به کمک شبیه‌سازی بررسی شده است. نتیجه‌گیری، بخش نهایی خواهد بود.

2- مدل سیستم

در این بخش ابتدا سیستم پایه‌ای OFDM توضیح مختصری داده می‌شود. سپس دو سیستم GFDM و
C-SMT بررسی می‌شود. این مقدمه مسیر معرفی سیستم C-SMT را در پایان بخش، هموار می‌کند.

2-1- OFDM

در سیستم OFDM، بردار داده با مجموعه‌ای از زیرحامل‌ها مدوله می‌شود که پهنای باند هر ‌یک بسیار کم‌تر از پهنای باند همدوس کانال است و نتیجۀ آن، محوشدگی تخت در هر زیرحامل است. همچنین استفاده از پیشوند گردشی، به معنی کپی قسمتی از انتهای سیگنال و افزودن آن در ابتدا، بهبود این وضعیت و مقاومت سیستم در مقابل کانال فرکانس انتخابی و تداخل بین سمبلی[xiv] را سبب می‌شود. نمایش باند پایه چند سیگنال متوالی OFDM نرمالیزه قبل از افزودن پیشوند گردشی به‌صورت

خواهد بود که در آن نشان‌دهندۀ تعداد کل زیرحامل‌ها (و به بیان دیگر تعداد نمونه‌ها در هر سمبل OFDM) و نمایندۀ تعداد زیرحامل‌های فعال (استفاده‌شده) و نیز طول بردار داده هستند. داده مختلط مربوط به زیرحاملام و بازه زمانی پیامام با مشخص شده است. همچنین فرض می‌شود کهها نمونه‌های مستقل و هم توزیع با میانگین صفر و واریانسهستند که از منظومه QAM انتخاب شده‌اند. فیلتر مستطیلی شکل‌دهندۀ پالس به فرم

بیان می‌شود. شکل (1) نمایش بلوکی دنباله پیام متوالی OFDM و چگونگی افزودن پیشوند گردشی به هر پیام را نشان می‌دهد. شایان ذکر است که شکل‌دهی پالس مستطیلی، امکان پیاده‌سازی این سیستم به کمک عملگر IFFT (معکوس تبدیل فوریه سریع) را فراهم ساخته است.

شکل (1): یک مجموعه M تایی پیام در سیستم OFDM

2-2- GFDM

شکل (2) فرستنده GFDM را در باند پایه نشان می‌دهد [10]. در ورودی بردار داده که شامل سمبل مختلط از منظومه QAM است، به بردار  تقسیم می‌شود که میزان پایین‌تری به نسبت میزان دارد. دادۀ حمل‌شده از زیرحاملام در زیربازه زمانیام با مشخص می‌شود. واضح است که  و  است. در

شکل (2): فرستنده سیستم GFDM در باند پایه [10]

مرحله بعد، هرکدام از بردارهای با میزان نمونه‌افزایی[xv] می‌شوند. بردار نقطه‌ای حاصل به‌طور چرخشی با فیلتر نمونه‌ای  کانولوشن چرخشی‌شده و با زیرحامل مربوطه مدوله می‌شود. در پایان، مجموع سیگنال تمامی زیرحامل‌ها، سیگنال باند پایه GFDM را به فرم

(3)

می‌سازند [16] که در آن تابع شکل‌دهی پالس به‌صورت تعریف می‌شود [16]. شکل (3) نمایش تابع، چگونگی ایجاد اولین شیفت چرخشی این تابع و نحوه کنار هم قرارگرفتن شکل پالس‌ها در حوزه زمان را به ازای و  نشان می‌دهد.

در این سیستم نیز با توجه به حالت چرخشی پالس تولیدی، بدون نگرانی بابت ایجاد اعوجاج فرکانسی، از پیشوند گردشی استفاده می‌شود. شکل (4) چگونگی افزودن پیشوند گردشی به سیگنال GFDM را با فرض نشان می‌دهد. با مقایسه شکل (4) با شکل (1)، مشاهده می‌شود در سیستم GFDM برخلاف OFDM، برای مخابره سمبل داده تنها یک پیشوند گردشی لازم است که کاهش تأخیر نسبت به سیستم OFDM را سبب می‌شود.

در گیرنده GFDM، پس از حذف پیشوند گردشی و جبران اثر کانال از یک همسان‌ساز تک ضریبی در حوزه فرکانس، سیگنال مربوط به هر زیرحامل با فیلتر گیرنده به‌صورت حلقوی کانوالو می‌شود. در مرحله آخر، عمل نمونه‌کاهی^[xvi] انجام می‌‌‌شود. شایان ذکر است پارامتر علاوه بر میزان نمونه‌افزایی، بیان‌کنندۀ تعداد کل زیرحامل‌ها نیز هست و لازم است با توجه به قید قضیه نمونه‌برداری، برای جلوگیری از هم‌پوشانی[xvii] به‌صورت انتخاب شود.

(الف)

(ب)

(ج)

شکل (3): (الف). نمایش تابع، (ب). چگونگی ایجاد اولین شیفت چرخشی این تابع و (ج). نحوۀ کنار هم قرارگرفتن شکل پالس‌ها در حوزۀ زمان در سیستم GFDM

در سیستم GFDM تعامد وجود ندارد و از این نظر، استفاده از هر نوع فیلترای مجاز است؛ اما معمولاً به معیارهایی مثل انتشار خارج باند توجه می‌شود؛ به‌طور مثال، توابع کسینوس صعودیافته[xviii] (RC) و جذر کسینوس صعودیافته[xix] (RRC) دو فیلتر معمول برای سیستم GFDM هستند.

شکل (4): نمایش یک پیام در سیستم GFDM

2-3- SMT

در سیستم SMT بخش حقیقی و موهومی داده مختلط QAM به‌طور جداگانه، مدوله و با اختلاف زمانی برابر با نصف دوره سمبل، ارسال می‌شوند [7] سیستم SMT با این شیوه از سد قضیه [17]Balian-low  عبور کرده است. بر اساس این قضیه هیچ فیلتر اولیه کاملاً جایگزیده[xx] در هر دو حوزه زمان و فرکانس وجود ندارد که هم‌زمان هر دو شرط تعامد و چگالی داده واحد (ارسال داده با میزان نایکویست) را برآورده سازد [18]؛ درحالی‌که هر دوی این خواص در سیستم SMT وجود دارند. سیگنال SMT مدوله‌شده در باند پایه با رابطه

مشخص می‌شود [19]. به‌منظور بازسازی کامل داده‌ها و جلوگیری از ISI [xxi] لازم است که  یک پالس نایکویست باشد که در آن نماد نشان‌دهندۀ کانولوشن است؛ در نتیجه یک فیلتر متقارن زوج ریشه نایکویست خواهد بود [19]. طول فیلتر برابر با ((مضربی از به اضافه 1)) است. نمونه‌ای از فیلتر و نحوه کنار هم قرارگرفتن شکل پالس‌ها در حوزۀ زمان به ازای و  در شکل (5) رسم شده است. با مقایسه این شکل با شکل (3) مشاهده می‌شود برخلاف سیستم GFDM، زمان گذار در ابتدا و انتهای سیگنال SMT وجود دارد.

(الف)

(ب)

شکل (5): (الف). نمایش تابع و (ب). نحوه کنار هم قرارگرفتن شکل پالس‌ها در حوزه زمان در سیستم SMT

2-4- C-SMT

همان‌طور که بیان شد سیستم C-SMT از جایگزینی کانولوشن خطی با نوع چرخشی در سیستم SMT حاصل می‌شود و به نوعی ترکیبی از دو سیستم SMT و GFDM است. درواقع، در این سیستم در گام اول مؤلفه‌های حقیقی و موهومی داده مختلط به‌صورت  و  تفکیک می‌شوند؛ بنابراین به‌ازای  دو بردار داده حقیقی به‌دست می‌آید. در مرحله بعدی هرکدام از این دو بردار، پس از نمونه‌افزایی با میزان، به‌طور جداگانه با دو فیلتر اولیه حقیقی، متقارن و ریشه نایکویست [15] کانوالو می‌شوند. این دو فیلتر به اندازه نمونه زمانی فاصله دارند. مجموع دو سیگنال حاصل با اختلاف فرکانسی، سیگنال نهایی C-SMT را مطابق رابطه

می‌سازند [15]. در این رابطه   تعریف می‌شود که بیان‌کنندۀ فرم متناوب فیلتر اولیه با دورۀ تناوب است. طول فیلتر اولیه برابر با  است که با طول فیلتر اولیه در سیستم GFDM یکسان است. شکل (6) چگونگی چینش مؤلفه‌های حقیقی و موهومی داده  در یک سیگنال C-SMTرا نشان می‌دهد. این مؤلفه‌ها با اختلاف زمانی برابر با نصف دوره سمبل جاگذاری شده‌اند؛ بنابراین، طول زمان نهایی سیگنال C-SMT ‌در شکل (6) برابر طول زمانی سیگنال GFDM در شکل (4) است.

شکل (6): نمایش یک پیام در سیستم C-SMT

اگر داده‌های از جاگذاری متوالی مؤلفه‌های حقیقی و موهومی داده‌های به‌دست آیند، بردار حاصل شامل داده حقیقی PAM خواهد بود که اندازۀ منظومه‌ای برابر جذر اندازۀ منظومه داده‌های QAM اولیه دارد [20]. داده‌های مستقل و هم‌توزیع با میانگین صفر و واریانس  هستند. به کمک بردار حاصله رابطه به فرم خلاصه

بازنویسی می‌شود. با توجه به رابطه مشخص است که تعامد مدّنظر گیرنده برای دو زیرحامل مجاور و نیز دو زیربازه زمانی مجاور به کمک اختلاف فاز  حاصل می‌شود. شکل (7) چگونگی ساختار باند پایه سیستم
C-SMT را بر مبنای رابطه نشان می‌دهد.

با توجه به تعامد که به دلیل شرایط حاکم بر فیلتر اولیه و چینش زمانی مؤلفه‌های داده حاصل شده است، گیرنده مناسب از نوع فیلتر منطبق است که به‌صورت کانولوشن چرخشی اعمال می‌شود؛ بنابراین بازسازی سمبل‌های ارسال‌شده با سیستم متناظر با رابطه ، به‌صورت رابطه (7)، انجام می‌شود.

شکل (7): مدولاتور C-SMT در باند پایه [13]

یادآور می‌شود در کانولوشن خطی، طول دنباله دلخواه است و این عملیات به معنی عبور دنباله داده‌ها از فیلتر است؛ ولی در کانولوشن چرخشی لازم است طول بردار داده و فیلتر یکسان باشد و به عبارتی، عملیات به‌صورت بلوکی انجام می‌شود. محدودبودن بازۀ اولین جمع‌کننده در روابط و برخلاف روابط و، به همین دلیل است؛ البته به علت ملاحظات عملی بیشتر، پیاده‌سازی کانولوشن چرخشی به‌صورت غیرمستقیم انجام می‌شود [13].

3- BER در سیستم C-SMT

محاسبه BER سیگنال OFDM در کانال AWGN قبلاً در مراجعی نظیر [21] آمده و ثابت شده است میزان خطای آن معادل میزان خطای ارسال مستقیم داده QAM در کانال AWGN است؛ بنابراین استفاده از مدولاسیون OFDM خطای اضافی تحمیل نمی‌کند. حال این سوال مطرح می‌شود که آیا C-SMT نیز از این ویژگی برخوردار است. پاسخ این سوال در این بخش بررسی می‌شود. برای تسهیل در روند مقایسه، محاسبات مربوط به BER سیستم OFDM نیز در این بخش آورده شده است.

3-1- محاسبه BER برای سیستم OFDM

یک تک‌سیگنال دریافتی در گیرندۀ OFDM به‌صورت

نمایش داده می‌شود که بردار نویز سفید گوسی مختلط با میانگین صفر و واریانس است. با توجه به رابطه (9)، و نیز فرض مستقل و هم‌توزیع‌بودن نمونه‌هایها و تغییرناپذیری واریانس آنها با زمان، توان متوسط قسمت مفید سیگنال دریافتی در طول یک سیگنال برابر با رابطه (10) خواهد بود [20]. درخور ذکر است در صورتی‌که کانال انتخابگر فرکانسی نیز لحاظ شود، اثر کانال با فرض نرمالیزه‌بودن، خودبه‌خود در محاسبه توان سیگنال حذف می‌شود [22]؛ بنابراین توان سیگنال بر نویز در ورودی گیرنده برابر است. گفتنی است برای محاسبه دقیق SNR می‌باید اثر پیشوند گردشی نیز در نظر گرفته شود که در اینجا برای سادگی محاسبات از اثر آن صرف‌نظر شده است.

در گیرنده بعد از حذف پیشوند گردشی، سیگنال از فیلتر منطبق عبور می‌کند که دربارۀ سیستم OFDM معادل با FFT است؛ بنابراین داده زیرحاملام به‌صورت رابطه (11) تخمین زده می‌شود که با توجه به رابطه (9) برابر با رابطه (11) است. نشان‌دهندۀ نمونه‌های یک فرایند تصادفی گوسی (گاوسی) است؛ بنابراین، عبارت  به‌ازای هر مقدار دلخواه ، یک متغیر تصادفی گوسی مختلط است [23] که میانگین صفر و واریانس رابطه (13) دارد؛ بنابراین با توجه به رابطه ، استفاده از سیستم OFDM برای ارسال داده‌های QAM، نتیجه‌ای مشابه ارسال داده QAM با توان متوسطدر کانال AWGN دارای توان نویز مختلط ، دارد. اگر اندازه منظومه QAM با  مشخص شود، SER سیستم برابر با رابطه (14) خواهد بود. دربارۀ مدولاسیون QAM، نسبت SER به BER به‌طور تقریبی برابر است [20]؛ بنابراین با توجه به تشابه عملکرد سیستم OFDM با مخابره مستقیم داده‌های QAM، نتیجه می‌گیریم که  است. شایان ذکر است در حضور کانال انتخابگر فرکانسی، با توجه به حذف کامل اثر کانال با همسان‌ساز تک ضریبی، توان متوسط سیگنال برابر با رابطه است و صرفاً توان نویز خروجی گیرنده تغییر می‌کند که به سادگی محاسبه می‌شود.

3-2- محاسبه BER سیستم C-SMT

سیگنال C-SMT پس از عبور از کانال به‌صورت

در گیرنده دریافت می‌شود. با توجه به مستقل و هم‌توزیع‌بودنها و صفربودن میانگین آنها، توان متوسط سیگنال ارسالی در طول یک قالب برابر با
 

است. بنابراین توان سیگنال بر نویز در ورودی گیرنده سیستم C-SMT برابر با همین پارامتر در سیستم OFDM است؛ یعنی.

در گیرنده بعد از حذف پیشوند گردشی، عبور سیگنال از فیلتر منطبق و جداسازی قسمت حقیقی، داده مربوط به زیرحامل ام و زیربازه زمانیام به‌صورت
 

تخمین زده می‌شود که

هرکدام از نمونه‌های این نویز گوسی، میانگین صفر و واریانس

(19)

دارد که  است.

بنابراین در این حالت، انتقال داده‌های حقیقی PAM توسط سیستم C-SMT با توان متوسط قالب در کانال AWGN دارای نویز مختلط با توان متوسط، مشابه مخابره همان داده‌ها با توان متوسط در محیط دارای نویز حقیقی با توان متوسط است؛ درنتیجه، SER سیستم به‌صورت

محاسبه می‌شود که اندازه منظومه داده‌های PAM است. یادآور می‌شود که اگر هدف، ارسال داده‌ QAM باشد، جز حقیقی و موهومی به‌صورت یک بردار PAM حقیقی جایگذاری می‌شود که اندازه منظومه PAM برابر جذر اندازه منظومه QAM اولیه است و رابطه به فرم

درخواهد آمد. در اینجا نیز با توجه به تشابه عملکرد
C-SMT با مخابره مستقیم داده‌های PAM، رابطه تقریبی برقرار است. همچنین مشابه حالت قبل، در حضور کانال انتخابگر فرکانسی و در صورت استفاده از همسان‌ساز تک ضریبی در حوزۀ فرکانس، تنها توان نویز در خروجی گیرنده تغییر می‌کند و روند محاسبه BER تفاوتی نمی‌‌کند.

3-3-  رابطه BER در سیستم‌های OFDM و C-SMT بر مبنای پارامتر SNR بر بیت ()

در این بخش دو سیستم OFDM و C-SMT ازنظر معیار BER مقایسه شده‌اند. برای این منظور، فرض می‌شود میزان SNR بر بیت که به‌طور اختصار با نماد  نشان داده می‌شود، در هر دو سیستم یکسان باشد. برای محاسبه ، نسبت SNR سیگنال در کانال به میانگین تعداد بیت حمل‌شده با همان سیگنال، محاسبه می‌شود؛ روابط

چگونگی این محاسبه را نشان می‌دهند؛ بنابراین با توجه به روابط (7) و (13) داریم:

و

درنتیجه دو تقریب

و

برقرار است. نتایج بخش بعدی میزان نزدیکی مقادیر عددی این دو رابطه را به خوبی مشخص خواهند کرد.

4- شبیه‌سازی

در این بخش صحت روابط ریاضی محاسبه‌شده در بخش 3 به کمک رسم منحنی‌های خطا در حالت شبیه‌سازی سیستم SMT و آنالیز تئوری، بررسی شده است. همچنین مقایسه‌ای بر عملکرد BER در سیستم‌های OFDM، GFDM، SMT و C-SMT در حالت کانال AWGN و محوشدگی رایلی با استفاده از شبیه‌سازی انجام شده است. این مقایسه، مزیت C-SMT نسبت به GFDM و SMT را از نظر معیار BER بهتر مشخص می‌کند. مقادیر مربوط به متغیرهای شبیه‌سازی در جدول (1) آمده است.

نمودار BER سیستم‌های OFDM و C-SMT نسبت به (Eb/N0) در حالت شبیه‌سازی و نیز به کمک روابط ریاضی در شکل (8) رسم شده است. همچنین دو منحنی برای مخابره داده‌های QAM و PAM در کانال AWGN که با توجه به توضیحات زیربخش‌های 3-1 و 3-2 به ترتیب معادل با مدولاسیون‌های OFDM و C-SMT عمل می‌کنند، با عنوان حالت مستقیم (Direct)، اضافه شده‌اند. تطابق نمودار حاصل از روابط ریاضی و شبیه‌سازی، درستی روابط ریاضی برای هر دو سیستم را تأیید می‌کند. همچنین انطباق منحنی‌های مربوط به سیستم OFDM بر منحنی‌های مربوط به سیستم C-SMT ‌بیان‌کنندۀ نتایج زیر است:

• با وجود شکل‌دهی چرخشی پالس، به علت وجود شرط تعامد، امکان استفاده از گیرندۀ فیلتر منطبق بدون افزایش خطای اضافی نسبت به مخابره مستقیم داده، در سیستم چندحاملی C-SMT ‌وجود دارد.
• مدولاسیون C-SMT توانسته است با حفظ مزایای خود نسبت به سیستم OFDM، از نظر معیار BER به عملکردی مشابه این سیستم دست یابد؛ بنابراین از این نظر جایگزین مناسبی برای سیستم OFDM در نسل پنجم مخابرات مطرح می‌شود.

جدول (1): متغیرهای شبیه‌سازی و مقادیر عددی آن‌ها

درخور ذکر است در شکل (8) نمودار BER تئوری و شبیه‌سازی مربوط به سیستم OFDM در ابتدای نمودار به‌طور کامل منطبق نشده‌اند. علت این موضوع تقریب موجود در رابطه است. همان‌طور که بیان شد ارسال مستقیم داده QAM در حالت تئوری، مشابه سیستم OFDM است؛ بنابراین به جای استفاده از تقریب از نمودار BER ارسال مستقیم داده‌های QAM به‌عنوان مدل‌سازی ریاضی برای رسم نمودار تئوری BER در سیستم OFDM استفاده می‌شود. کاربرد این شیوه در شکل (8) مشخص شده است که حاصل آن، انطباق منحنی شبیه‌سازی سیستم OFDM و منحنی ارسال مستقیم داده QAM (به‌عنوان معادل منحنی تئوری رابطه دقیق BER سیستم OFDM) است.

شکل (8): نمودار BER برای سیستم‌های OFDM و
C-SMT در حالت عملی و تئوری در کانال AWGN

نمودار BER بر حسب در کانال AWGN برای هر چهار سیستم OFDM، GFDM، SMT و C-SMT در شکل (9) رسم شده است. همان‌طور که مشاهده می‌شود سیستم GFDM نتوانسته است به عملکردی مشابه سیستم OFDM دست یابد. نتایج شبیه‌سازی و سایر مطالعات [24] نشان می‌دهند با افزایش پارامتر رول‌آف فیلتر، وضعیت BER در سیستم GFDM تنزل می‌یابد. این در‌حالی است که سیستم ترکیبی C-SMT منحنی BER سیستم OFDM را به خوبی دنبال کرده است.

نمودار مربوط به عملکرد BER در کانال محوشدگی رایلی با بردار تأخیر  میکرو ثانیه و بردار توان dB بر مبنای مدل [25] SUI-4[xxiii] در شکل (10) رسم شده است. همسان‌ساز استفاده‌شده برای تمامی سیستم‌ها از نوع تک ضریبی است. مشاهده می‌شود که منحنی مربوط به سیستم SMT برای مقادیر بزرگ عملکرد ضعیف‌تری نسبت به سایر سیستم‌ها دارد. برای بررسی دقیق‌تر علت این موضوع به نمودار خط‌چین مربوط به حالت SMT بدون نویز توجه می‌کنیم که تنها اثر پاسخ ضربه کانال را بر BER سیستم SMT نشان می‌دهد. این نمودار به خوبی مشخص می‌کند امکان‌نداشتن استفاده مؤثر از پیشوند گردشی در سیستم SMT باعث شده ‌است همسان‌سازی در این سیستم به‌طور کامل انجام نشود.

شکل (9): نمودار BER برای سیستم‌های OFDM، GFDM،SMT و C-SMT در کانال AWGN

در مقدمه بیان شد توانایی سیستم SMT برای همسان‌سازی کانال با استفاده از همسان‌ساز تک ضریبی به تعداد زیرحامل‌ها بستگی دارد. شکل (11) صحت این موضوع را تأیید می‌کند. در این شکل تعداد بیت ارسالی و اندازه قالب[xxiv] در تمامی حالت‌ها ثابت است و dB 15‌= انتخاب شده است.

شکل (10): نمودار BER برای سیستم‌های OFDM، GFDM،SMT و C-SMT در کانال محوشدگی رایلی

همان‌طور که مشاهده می‌شود با افزایش تعداد زیرحامل‌ها، توانایی این سیستم برای همسان‌سازی کانال بهبود یافته ‌است؛ ولی درهرحال این افزایش به افزایش بیشتر حساسیت به انحراف فرکانسی منجر خواهد شد [14]. همچنین نتایج شبیه‌سازی نشان می‌دهد با کاهش اندازۀ منظومه، همسان‌ساز تک ضریبی، عملکرد بهتری در گیرنده سیستم SMT خواهد داشت. این درحالی‌ است که سیستم جایگزین C-SMT توانسته است با امکان استفاده از پیشوند گردشی، به‌ازای مقادیر مختلف به عملکرد BER در سطح سیستم OFDM دست یابد؛ بنابراین سیستم C-SMT علاوه بر حذف زمان گذار و تأخیر ناشی از آن، از نظر معیار BER نیز در وضعیت بهتری نسبت به سیستم SMT قرار دارد؛ البته نباید فراموش کرد که افزودن پیشوند گردشی به کاهش بهره‌وری طیفی منجر خواهد ‌شد؛ درنتیجه، بهره‌وری طیفی C-SMT نسبت به SMT کمتر است.

شکل (11): نمودار BER برای سیستم‌های OFDM، GFDM، SMT و C-SMT برحسب تعداد زیرحامل در کانال محوشدگی رایلی

5- نتیجه

در این مقاله، مدولاسیون C-SMT، یکی از سیگنالینگ‌های پیشنهادی جایگزین برای نسل پنجم مخابرات سلولی، و همچنین ساختار آن معرفی شده است. در مرحله بعدی، روابط تئوری BER سیستم در حضور نویز استخراج شد و مشخص شد که مدل ریاضی این سیستم در گیرنده مشابه معادلات مربوط به ارسال داده حقیقی PAM است. پس از آن، نتایج آنالیز تئوری و نیز شبیه‌سازی به کمک منحنی BER مقایسه شده‌اند. نتایج نهایی علاوه بر تأیید صحت روابط ریاضی، مشخص کرد عملکرد BER سیستم C-SMT بر سیستم OFDM منطبق است. همچنین به‌منظور مقایسه بهتر عملکرد هر چهار سیستم OFDM، SMT، GFDM و C-SMT در کانال AWGN و محوشدگی رایلی شبیه‌سازی شد. ضرورت این بررسی، مقایسۀ دقیق سیستم C-SMT و سیستم‌های ارائه‌شدۀ قبلی بوده است؛ زیرا برای گزینش سیستم مناسب نسل پنجم، به روشی نیاز است که علاوه بر پاسخگویی به نیازهای آتی، مزایای قبلی OFDM را حفظ کند.