ارائۀ یک مدل دوهدفه برای تصمیم‌های مکان‌یابی و تخصیص در یک زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی

ارائۀ یک مدل دوهدفه برای تصمیم‌های مکان‌یابی و تخصیص در یک زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی

ابوالفضل کاظمی^1*، امیرحسین نوبیل²، علیرضا علی‌نژاد³

1- استادیار، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد قزوین، دانشکدۀ مهندسی صنایع و مکانیک، قزوین، ایران

2- دانشجوی دکتری، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد قزوین، دانشکدۀ مهندسی صنایع و مکانیک، قزوین، ایران

1- استادیار، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد قزوین، دانشکدۀ مهندسی صنایع و مکانیک، قزوین، ایران

چکیده

مدیریت زنجیرۀ تأمین یکی از مسائل اساسی پیش روی سازمان­ها است. در این تحقیق مدلی برای تصمیم‌های مکان­یابی تسهیلات و تخصیص شبکۀ توزیع به‌‌منظور کمینه‌‌کردن دو هدف هزینه و زمان در داخل زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی ارائه شده است. این هدف­ها شامل هزینه­های راه­اندازی، سفارش، خرید، تولید، حمل‌و‌نقل، زمان­های تولید، ارسال کالا و دریافت مواد اولیه است. مدل ارائه‌‌شده، یک مسئلۀ برنامه­ریزی غیرخطی عدد صحیح مختلط است که مکان مناسب برای راه­اندازی تسهیلات را با توجه به تأمین‌کنندگان و توزیع‌کنندگان مشخص می­کند. همچنین در این تحقیق برای حل مدل از ابزار بهینه‌سازی سیپلکس، الگوریتم ژنتیک و شبیه‌سازی تبرید استفاده شده است. و درنهایت برای بررسی و اندازه­گیری کارایی روش حل مسئله، نتایج محاسباتی به‌دست‌‌‌آمده با تحلیل آماری با یکدیگر مقایسه شده­اند.

واژه‌های کلیدی: الگوریتم ژنتیک، برنامه‌ریزی توزیع، زنجیرۀ تأمین، شبیه‌سازی تبرید، مکان­یابی تسهیلات.

1- مقدمه

در شرایط رقابتی حاکم بر دنیای کنونی، رمز بقای سازمان­ها در ارتباط مؤثر با یکدیگر است تا بتوانند با ویژگی­های محیط تولیدی عصر حاضر به خواسته‌های متنوع مشتریان پاسخ دهند. در این ارتباط سازمان­ها قصد دارند که با همکاری یکدیگر به اهداف استراتژیک کاراتری دست یابند. با ارتباط سازمان­ها، فعالیت­هایی نظیر مکان­یابی، برنامه­ریزی عرضه و تقاضا، برنامه­ریزی نگهداری کالا و موجودی که قبلاً همگی در سطح شرکت انجام می‌شدند، به سطوح زنجیرۀ تأمین انتقال پیدا کرده­اند (لکزیان و دهقانی، 1389). به‌طور کل، هدف زنجیر‌ تأمین ارائۀ خدمات و محصولات به مشتری نهایی از طریق ایجاد ارتباط بین سازمان­های وابسته است که به‌طور مستقیم یا غیرمستقیم در برطرفکردن نیازهای مشتری با یکدیگر در ارتباط هستند (بیرئر[1] و همکاران، 2008). ازهمینرو، برای یکپارچه‌‌سازی مواد، اطلاعات و مالی بین سازمان­ها در زنجیرۀ تأمین̊ فلسفۀ مدیریتی جدیدی به‌نام مدیریت زنجیرۀ تأمین به وجود آمده است (استدلر و کیلگر، 2000).

مدیریت زنجیرۀ تأمین را می­توان به سه دسته طراحی زنجیرۀ تأمین، برنامه­ریزی زنجیرۀ تأمین و کنترل زنجیرۀ تأمین تقسیم­بندی کرد (شانکار و همکاران، 2013). تصمیم‌های مکان­یابی و تخصیص می­توانند مدیریت زنجیرۀ تأمین را در طراحی با انتخاب تسهیلات، انتخاب مکان­هایی مناسب برای احداث تسهیلات و انتخاب شبکۀ توزیع مناسب بین تسهیلات، تأمین‌کنندگان و توزیع‌کنندگان کمک کنند. همچنین،  هر کارخانه چه مقدار کالا تولید کند، چه مقدار مواد اولیه از هر تأمین­کننده و چه مقدار کالا به هر توزیع­کننده ارسال می‌کند، مدیریت زنجیرۀ تأمین را در برنامه­ریزی کمک می­کند. برهمین‌اساس تصمیم‌های مکان­یابی و تخصیص را می­توان به‌عنوان یکی از مباحث بسیار مهم در مدیریت زنجیرۀ تأمین بیان کرد که به مدیران برای اتخاذ تصمیم‌ها کارا و مؤثر کمک می­کنند.

ادامۀ این مقاله به‌این‌صورت مرتب شده است: پس از مروری بر ادبیات مسائل مکان­یابی و تخصیص در حیطۀ زنجیرۀ تأمین در بخش 2، یک مدل ریاضی برای تصمیم‌های مکان‌یابی و تخصیص به‌منظور کمینه‌کردن مجموع هزینه­ها و زمان در بخش 3 پیشنهاد شده است. در بخش 4 برای حل مدل با توجه به پیچیدگی مسئله از روش‌های فراابتکاری الگوریتم ژنتیک[2] و شبیه‌سازی تبرید[3] چندجمعیتی استفاده شده است. همچنین در بخش 5 برای بررسی و اندازه­گیری کارایی الگوریتم ژنتیک و شبیه‌سازی تبرید، نتایج محاسباتی به‌دست‌آمده با خروجی ابزار بهینه‌سازی سیپلکس[4] مقایسه شده و با تحلیل آماری کارایی دو الگوریتم با یکدیگر سنجیده شده‌اند. درنهایت نتایج تحقیق و پیشنهادهایی برای کارهای آتی در بخش 6 ارائه شده است.

2- مروری بر ادبیات

در سال 1909 آلفرد وبر مسائل مکان­یابی را برای اولین بار به صورت فرموله بیان کرد و گام بزرگی را در زمینه علمی این‌‌مسائل بنا نهاد (فراهانی و همکاران، 2010). او مکان یک انبار را با استفاده از یک مسئلۀ مکان­یابی مشخص کرد. در مدل او، هدف شامل کمینه‌کردن فاصلۀ بین انبار و مشتریان بود. مسئلۀ وبر یک مسئلۀ مکان­یابی میانه[5] (حداقل مجموع[6]) یک وسیله بر فضای پیوستۀ دوبعدی (صفحه) است. مسائل مکان­یابی برای انتخاب برخی از تسهیلات مانند بیمارستان‌ها و ایستگاه­های آتش­نشانی بسیار مؤثر هستند.

حکیمی (1964) مسئلۀ مکان­یابی را به‌عنوان یک ابزار قوی برای طراحی شبکه استفاده کرد. او در مطالعۀ خود مراکز راهگزینی[7] در شبکۀ ارتباط و ایستگاه‌های پلیس در سیستم بزرگراه­ها را مکان­یابی کرد.

بالینسکی (1965) مسئلۀ مکان­یابی تسهیلات گسسته را با هدف کمینه‌کردن هزینه­های ثابت احداث و حمل‌و‌نقل فرموله کرد.

ورجین و راجرز (1967) یک مجموعه از تأمین‌کنندگان و تخصیص مشتریان به آن‌ها را با استفاده از مکان­یابی مراکز تأمین تعیین کردند. ریویلله و لاپورته (1996) ادبیات مسائل مکان­یابی را بازنگری کردند و شکل­های رسمی از این مسائل را با چندین هدف، چندین محصول و ماشین شرح دادند.

 در اوایل دهۀ 80 میلادی تحقیقات بسیاری روی مسائل مکان­یابی میانه با فواصل متعامد[8] انجام شد. در این مسائل فاصله­های بین مراکز تأمین و مشتریان با درنظرگرفتن به‌صورت متعامد کمینه می­شوند (حسیه و تین، 2004). قالمت و همکاران (1981) راه‌حل‌های مؤثری را برای مسائل مکان­یابی با فاصلۀ متعامد پیدا کردند. آن‌ها با استفاده از یک الگوریتم پیکانی ساده[9] که بر اساس آنالیز هندسی[10] است، مکان تسهیل جدید را با توجه به مکان­های تسهیلات موجود پیدا کردند.

در هرکدام از تحقیقات انجام‌شده به‌علت پیچیدگی و ابعاد مسئله، محققان از روش‌های مختلفی برای حل مدل استفاده کرده­اند که هر کدام ار این روش­ها نسبت به دیگری مزایا و نواقصی دارد.  مقایساتی از روش­های مختلف سنتی با روش‌های جست‌‌وجوی جدید برای مسائل مکان­یابی و تخصیص را می­توان در مطالعه­ای که بیسچف و داچرت (2009) انجام دادند، مشاهده کرد. همچنین فراهانی و همکاران (2010) بر مطالعات اخیر مسائل مکان­یابی چندمعیاره بازنگری کردند. این معیارها شامل سه دستۀ دو هدفه، چندهدفه و چندصفتی[11] هستند. آن‌ها در مطالعۀ خود نیز مروری بر معیارهای مختلف استفاده‌شده انجام دادند.

در سال 1982 اولیور و وبر اصولی از مقدمات زنجیرۀ تأمینبیان کردند (سارکار و ماجومدر، 2013). مدیران صنایع با گسترش مفهوم زنجیرۀ تأمین دریافتند که برای ادامۀ حضور در بازارهای جهانی تنها بهبود فرآیندهای داخلی سازمان کافی نیست، بلکه تأمین‌کنندگان، توزیع­کنندگان قطعات و مواد نیز باید ارتباط نزدیکی با سیاست‌های توسعۀ بازار تولیدکننده داشته باشند (نوبیل و همکاران، 2012). با این رویکرد مباحث مربوط به زنجیره­های تأمین بیش از پیش مورد توجه محققان مسائل مکان­یابی و تخصیص قرار گرفت.

وئو و ژانگ[12] (2006) زنجیرۀ تأمین یک سطحی را با تابع هزینۀ راه­اندازی مدل کردند. در همان سال، لشینه و همکاران (2006) تصمیم‌های مکان­یابی-تخصیص و مسیریابی در شبکۀ زنجیرۀ تأمین را ارائه دادند. مدل آن‌ها یک مدل عدد صحیح برای مکان انبارها، تخصیص خرده­فروشان به انبارها و پیدا‌کردن تعداد وسایل تحویل و مسیر این وسایل با هدف کمینه‌کردن کل هزینه­های حمل‌و‌نقل، عملیات، مسیریابی و راه‌اندازی بود. هو و همکاران (2008) مسئلۀ مکان­یابی و تخصیص تسهیلات را در یک زنجیرۀ تأمین مشتری-تحویل‌دهنده، بهینه کردند. آن‌ها از تکنیک AHP و مدل برنامه­ریزی آرمانی[13] برای هر دو فاکتور کیفی و کمی به‌منظور بیشینه‌کردن سود استفاده کردند.

ملو و همکاران (2009) یک مرور ادبیاتی بر مسائل مکان­یابی در مدیریت زنجیرۀ تأمین انجام دادند. آن‌ها ویژگی­های اساسی مدل­هایی که از تصمیم­گیری در برنامه­ریزی زنجیرۀ تأمین استراتژیک حمایت می­کنند را شناسایی، و یک لیست از مسائل موردنیاز برای تحقیقات بیشتر را فهرست کردند. وانگ و همکاران (2011) تصمیم‌های مکان­یابی و تخصیص در زنجیرۀ تأمین دوسطحی با هدف کمینه‌کردن هزینه راه­اندازی و ارتباط بین مراکز توزیع و تسهیلات را با بیشینه‌کردن سود ارائه دادند.

تساو و لو (2012) یک شبکۀ زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی را با تخفیف­های هزینۀ حمل‌و‌نقل ارائه دادند که در این تحقیق، مکان­یابی تسهیلات و تخصیص موجودی، تحت تخفیف­های هزینۀ‌ حمل‌و‌نقل صورت گرفته است.

امین و ژانگ (2013) یک مدل مکان­یابی تسهیلات چندهدفه را برای شبکۀ زنجیرۀ تأمین حلقۀ بسته[14]، تحت تقاضا و بازگشت نامشخص ارائه کردند. این شبکۀ زنجیرۀ تأمین حلقۀ بسته شامل هر دو زنجیرۀ تأمین جلو و عقب است. آن‌ها در این تحقیق یک شبکۀ زنجیرۀ تأمین که شامل چندین کارخانه، مراکز جمع­آوری[15]، بازار تقاضا و محصولات است را بررسی کردند.

شانکار و همکاران (2013) تصمیم‌های مکان­یابی و تخصیص دوهدفه را برای یک شبکۀ زنجیرۀ تأمین چهار سطحی شامل تأمین‌کنندگان، کارخانه‌ها، مراکز توزیع و مشتریان ارائه دادند. این مدل با استفاده از الگوریتم بهینه‌سازی اجتماع ذرات[16] چندهدفه، هزینۀ تولید و احداث در شبکۀ زنجیرۀ تأمین را کمینه و نرخ سرعت پردازش[17] و خدمات را بیشینه می­کند.

با توجه به بررسی تحقیقات گذشته، توابع چندهدفه­ای که شامل هزینه­های راه­اندازی، خرید، سفارش، تولید توسط پیمانکار خارجی و هدف زمان سپری‌شده در داخل زنجیرۀ تأمین باشند، چندان موردِتوجه محققان قرار نگرفته است. همچنین، در بیشتر تحقیقات انجام‌شده تقاضای هر توزیع­کننده را فقط یک تسهیل پاسخ می­دهد که در بیشتر اوقات در عمل این‌گونه نیست و هر مرکز توریع از چندین تسهیل می­تواند سرویس دریافت کند. با توجه به اهمیت هزینه­هایی که بر زنجیره­های تأمین تحمیل شده و شکاف­های مطالعاتی که دراین‌راستا مشاهده کرده­ایم، یک مدل مکان­یابی و تخصیص با دو هدف هزینه و زمان برای یک زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی با تأمین‌کنندگان خارجی و با توجه به فاصله­های خطی مستقیم بین آن‌ها ارائه کرده‌ایم. در این مدل هر توزیع­کننده با چندین تسهیل و هر تسهیل با چندین تأمین­کننده می­تواند ارتباط داشته باشد.

3- تعریف مدل پیشنهادی

مسائل مکان­یابی و تخصیص به‌عنوان مسائل تصمیم استراتژی در مدیریت زنجیرۀ تأمین در حال گسترش هستند (هو و همکاران، 2008). در این مسائل سه استراتژی مکان­یابی تسهیلات، تخصیص شبکۀ توزیع و مقدار توزیع در داخل زنجیرۀ تأمین که با یکدیگر مرتبط هستند، تعیین می­شوند. در این مطالعه مدل ارائه‌شده، یک مسئلۀ برنامه­ریزی غیرخطی عدد صحیح مختلط[18] است که هدف­های مدل شامل موارد زیر است:

 هزینۀ راه­اندازی، هزینۀ حمل‌و‌نقل، هزینۀ سفارش، هزینۀ خرید، هزینه تولید توسط کارخانه و پیمانکار خارجی و زمان سپری شده در داخل زنجیرۀ تأمین

زنجیرۀ تأمین در این مدل شامل سه سطح کارخانه­­ها، توزیع­کنندگان و تأمین­کنندگان خارجی است که با یکدیگر ارتباط چندگانه دارند. شکل (1) مسئلۀ مکان­یابی و تخصیص در زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی با تأمین­کنندگان خارجی را نشان می­دهد.

شکل (1) زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی با تأمین‌کنندگان خارجی

● اندیس­ها، توابع هدف، پارامترها و متغیرهای تصمیم استفاده‌شده در این مقاله به شرح زیر است:

مجموعۀ اندیس­ها:

i=1,2,…,n: اندیس مربوط به کارخانه­ها

j=1,2,…,m : اندیس مربوط به مراکز توزیع­

k=1,2,…,K: اندیس مربوط به تأمین­کنندگان

◌ توابع هدف

: هزینۀ کل زنجیرۀ تأمین

: زمان کل سپری‌شده در زنجیرۀ تأمین

◌ پارامترها

: تقاضای کل مشتریان از مرکز توزیع jام

: هزینۀ ثابت راه‌اندازی کارخانه در سایت iام

: هزینۀ سفارش کارخانۀ iام از تأمین­کنندۀ kام

: مرز تخفیف خرید از تأمین­کنندۀ kام

: هزینۀ خرید هر واحد مادۀ اولیۀ کارخانه iام از تأمین­کنندۀ kام اگر مقدار سفارش از کمتر باشد.

: هزینۀ خرید هر واحد مادۀ اولیۀ کارخانه در سایت iام از تأمین­کنندۀ kام اگر مقدار سفارش بزرگ‌تر یا مساوی بیشتر باشد.

: هزینۀ تولید هر واحد کالا در کارخانۀ iام

: هزینۀ تولید هر واحد کالا توسط پیمانکار خارجی برای کارخانۀ iام

: حداکثر ظرفیت تولید کارخانۀ iام

: ظرفیت حمل کالای هر وسیلۀ ­نقلیه

: حداکثر تعداد وسیلۀ نقلیه موجود در کارخانۀ iام

: هزینۀ هر واحد طی‌شده توسط یک وسیلۀ نقلیه از کارخانۀ iام به مرکز توزیع jام

: مدت زمان تولید کالا در کارخانۀ iام

: مدت زمان تولید کالا توسط پیمانکار خارجی برای کارخانۀ iام

: مدت زمان طی‌شده از تأمین­کننده kام به کارخانۀ iام به‌ازای هر واحد طی‌شده

: مدت زمان طی‌شده از کارخانۀ iام به توزیع­کننده jام به‌ازای هر واحد طی‌شده

 : مختصات کارخانه در سایت iام

: مختصات مرکز توزیع jام

: مختصات تأمین­کننده kام

: فاصلۀ متعامد بین کارخانۀ iام و مرکز توزیع jام

: فاصلۀ متعامد بین تأمین­کنندۀ kام و کارخانۀ iام

◌ متغیر­های تصمیم

: یک متغیر صفر و یک است که اگر کارخانۀ در سایت iام احداث شود برابر یک، و در غیر این‌ صورت صفر می­‌شود.

: ارتباط بین کارخانۀ iام و مرکز توزیع jام است که اگر کالایی از کارخانۀ iام به مرکز توزیع jام ارسال شود برابر یک، و در غیر اینصورت صفر می­‌شود.

: ارتباط بین تأمین­کنندۀ kام و کارخانۀ iام است که اگر مادۀ اولیه­ای از تأمین­کنندۀ kام به کارخانۀ­ iام ارسال شود برابر یک، و در غیر این صورت صفر می‌شود.

: یک متغیر پیوسته است و نسبتی از تقاضای کالای مرکز توزیع jام کهکارخانۀ iام  آن را برآورده می‌کند را نشان می­دهد.

: یک متغیر پیوسته است و نسبتی از تقاضای مادۀ اولیۀ کارخانۀ iام که تأمین‌کنندۀ kام آن را برآورده می‌کند را نشان می­دهد.

: مقدار مادۀ اولیۀ فرستاده‌شده از تأمین­کنندۀ kام به کارخانۀ iام

: هزینۀ خرید هر واحد مادۀ اولیۀ کارخانۀ iام از تأمین‌کنندۀ kام

: کل کالای ارسال‌شده از کارخانۀ iام

: مقدار کالای تولیدشده توسط پیمانکار خارجی برای کارخانۀ iام

: تعداد وسیلۀ نقلیۀ فرستادهشده از کارخانۀ iام به مرکز توزیع jام

● فرض­های ذیل برای توسعۀ مدل در نظر گرفته شده­اند:

1. کمبود جایز نیست.

2. تقاضا برای یک دوره است.

4. ظرفیت تأمین­کنندگان خارجی نامحدود است.

5. ظرفیت تولید هر کارخانه محدود است اما با استفاده از پیمانکار خارجی می‌توانند به مازاد ظرفیت پاسخ دهند.

6. زنجیرۀ تأمین برای یک نوع کالا و یک نوع مادۀ اولیه است.

7. ارتباط چندگانه بین تأمین­کننده‌ها و کارخانه­ها وجود دارد.

8. ارتباط چندگانه بین کارخانه­ها و توزیع­کننده‌ها وجود دارد.

9. مکان تأمین­کننده‌ها، توزیع­کننده‌ها و سایت­هایی برای احداث کارخانه­ها مشخص و معلوم هستند.

● توابع هدف و محدودیت­های مدل به‌صورت زیر هستند:

تابع هدف (1) مجموع هزینه­های راه­اندازی، سفارش­دهی، خرید، تولیدِ کارخانه و پیمانکار خارجی و حمل‌و‌نقل را محاسبه می‌کند. تابع هدف (2) مجموع زمان شبکۀ توزیع از تأمین­کنندگان تا توزیع‌کنندگان را محاسبه می­کند. محدودیت (3) بیان می­کند که حداقل یک کارخانه باید راه­اندازی شود تا تقاضاهای توزیع­کنندگان پاسخ داده شود. در محدودیت (4) مجموع نسبت کالایی که هر توزیع­کننده از کل کارخانه­ها می­گیرد، باید برابر یک باشد تا کل تقاضای هر توزیع­کننده پاسخ داده شود. در محدودیت (5) تضمین می­کند که توزیع‌کنندگان می‌توانند از کارخانه­ای که احداث شده است، کالا دریافت کنند.

محدودیت (6) تعداد وسایل نقلیه­ای که از هر کارخانه به هر توزیع‌کننده ارسال می­شود را مشخص می­کند. در محدودیت (7) مقدار مشخص می‌شود؛ اگر مقدار کالای ارسالی از کارخانۀ i به توزیع‌کنندۀ j ضریب صحیحی از ظرفیت وسیلۀ نقلیۀ (e) باشد عدد صفر، و در غیر این صورت عدد یک می­شود. محدودیت (8) تضمین می­کند که کل وسایل نقلیۀ ارسالی از هر کارخانه حداکثر باید برابر با ظرفیت وسایل نقلیۀ موجود در آن کارخانه () باشد. محدودیت­های (9) و (10) به‌ترتیب مقدار کل کالای ارسالی از هر کارخانه و مقدار تولید کالای هر پیمانکار خارجی را مشخص می‌کنند. در محدودیت (11) مقدار مواد اولیه­ای که هر تأمین­کننده به هر کارخانه ارسال می­کند، مشخص می­شود. محدودیت (12) قیمت خرید هر واحد مادۀ اولیۀ خریداری‌شده از هر توزیع‌کننده برای هر کارخانه را نشان می­دهد. در محدویت (13) نیز مقدار  مشخص می­شود؛ اگر مقدار مادۀ اولیۀ سفارش‌داده‌شده به تأمین­کنندۀ k از کارخانۀ i کوچک‌تر از مرز تخفیف خرید () باشد عدد صفر، و در غیر این صورت عدد یک می­شود.

در محدودیت­های (14) و (15) به‌ ترتیب فاصلۀ متعامد هر کارخانه از هر توزیع­کننده و هر تأمین‌کننده از هر کارخانه محاسبه می‌شود. محدودیت (16) مقدار درصد مادۀ اولیه­ای که از هر تأمین‌کننده به هر کارخانه ارسال می­شود را نشان می­دهد. محدودیت­های (17) و (18) نیز به‌ترتیب ارتباط بین کارخانۀ i و توزیع‌کنندۀ j ()، و تأمین­کنندۀ kو کارخانۀ i () را بیان می­کنند؛ در این محدودیت­ها، M نشان­دهندۀ یک عدد مثبت خیلی بزرگ است. محدودیت­های (19) و (20) نیز به‌ترتیب محدودۀ تغییرات و را نشان می‌دهند. محدودیت‌های (21)، (22) و (23) متغیرهای تصمیم دودویی را بیان می­کنند. درنهایت، محدودیت­های (24) و (25) متغیر­های تصمیم پیوسته را نشان می­دهند.

4- روش حل مدل

در این مطالعه یک مدل برنامه­ریزی غیرخطی عدد صحیح مختلط برای مسئلۀ مکان­یابی و تخصیص ارائه شده است. و به‌دلیلپیچیدگی محاسباتی مسائل مکان­یابی و تخصیص، استفاده از روش­های عمومی (دقیق) بهینه‌سازی برای آن‌ها معمولاً بسیار زمان­بر و دشوار است (وانگ و چن، 2009).از‌همین‌‌رو، محققان برای حل این نوع مسائل به سوی استفاده از روش­های ابتکاری و فراابتکاری سوق پیدا کرده‌اند. در میان این روش­ها، الگوریتم ژنتیک یکی از روش­های بسیار امیدوارکننده و مناسب برای بررسی مسائل مکان­یابی و تخصیص است (وانگ و همکاران، 2011). همچنین تومونوبو و همکاران (2004) نشان دادند که الگوریتم ژنتیک کارایی مناسبی برای مکان­یابی بهینۀ تسهیلات دارد. اما در این مطالعه برای حل و بررسی صحت اطلاعات و کارایی الگوریتم ژنتیک از یک روش فراابتکاری دیگری به نام الگوریتم شبیه‌سازی تبرید چندجمعیتی نیز استفاده شده است. از مهم‌ترین کاربردهای الگوریتم شبیه‌سازی تبرید می­توان به بررسی مسائل مکان­یابی و تخصیص اشاره کرد (عالم تبریز و همکاران، 1390).

4-1-الگوریتم ژنتیک (GA)

ایدۀ اصلی الگوریتم‌های تکاملی در سال 1960 میلادی را ریچنبرگ مطرح کردند  (عالم تبریز و همکاران، 1390). در حقیقت الگوریتم ژنتیک جزء الگوریتم­های تکاملی[19] است که از نظام طبیعت منشأ گرفته شده است (والترز و شیبلی[20]، 1993). الگوریتم ژنتیک را برای اولین‌بار پروفسور هالند در سال 1975 مطرح کرد. این الگوریتم جزء الگوریتم‌های بهینه‌سازی تصادفی محسوب می­شود (گلدبرگ و هالند، 1988). الگوریتم­های ژنتیک برای حل مسائل بهینه‌سازی سخت که تابع هدف آن‌ها چندهدفه و غیرخطی باشد، بسیار مناسب است (هالند، 1975).

4-1-1- ساختار الگوریتم ژنتیک

در این مقاله، الگوریتم ژنتیک برای کمینه‌کردن اهداف هزینه و زمان، و با توجه به محدودیت­های مدل مکان­یابی و تخصیص ارائه شده است. الگوریتم ژنتیک پیشنهادی از سه تصمیم کلیدی تشکیل شده است: 1) چه تعداد کارخانه و در چه مکان­هایی باید راه‌‌اندازی شوند؛ 2) کارخانه­ها به کدام مراکز توزیع کالا و چه مقدار کالا بفرستند و 3) کارخانه­ها از کدام تأمین­کنندگان مواد اولیه و چه مقدار دریافت کنند.

در ابتدا الگوریتم به صورت تصادفی، کروموزوم‌های[21] جمعیت اولیه[22] را تولید می‌کند که هر کروموزوم از سه قسمت ، و تشکیل شده‌اند. دیگر متغیرهای تصمیم مدل لازم به استفاده در کروموزوم پیشنهادی نیستند، زیرا با استفاده از سه متغیر تصمیم (، و) و روابطی که بین آن‌ها با دیگر متغیرها وجود دارد، می­توان متغیرهای دیگر را به دست آورد. pop1 جمعیت والدین در هر نسل[23] تولید‌شده و pop2 و pop3 به‌ترتیب جمعیت فرزندان است که از تقاطع[24] و جهش[25] در والدین به دست آمده است. در این الگوریتم با توجه به ساختار کروموزوم­های پیشنهادی و متغیرهای تصمیم مسئله، از تقاطع تک‌نقطه­ای و جهش تصادفی استفاده شده است؛ زیرا نسبت به اپراتورهای دیگر برای این مسئله، سرعت همگرایی[26] را بیشتر می‌کنند. درنهایت الگوریتم، تابع برازش[27] را برای هر نسل بررسی و عملگرها را اجرا می­کند تاآنجایی‌که شرط توقف حاصل شود. اگر شرط توقف حاصل نشد، الگوریتم با استراتژی انتخاب به تولید نسل جدید می‌پردازد و عملگرها را دوباره اجرا می­کند. این رویه الگوریتم پیشنهادی آن‌قدر تکرار می­شود تا شرط توقف حاصل شود.

4-1-2- ساختار کروموزوم

نخستین گام در الگوریتم ژنتیک پیشنهادی، کدگذاری‌کردن ژن­های کروموزوم مسئله است (زرین­پور و همکاران، 1389). هر کروموزوم از اتصال ژن­ها به یکدیگر و با توجه به پارامترهای متغیر مسئله یعنی  (مکان کارخانه) و، (مسیرهای توزیع) به وجود می­آید. چنانچه هر یک از کروموزوم­ها در محدودیت­های (3)، (5)، (16)، (21)، (24) و (25) صدق کنند، ژن‌ها به‌صورت تصادفی تولید می‌شوند. همچنین هر قسمت این کروموزوم­ها به‌صورت تصادفی به وجود می‌آیند. ژن­های قسمت  عدد دودویی صفر یا یک، و ژن‌های ، متغیر پیوسته بین صفر و یک هستند. شکل (2) مثالی از ساختار کروموزوم را برای 2 کارخانه با 2 تأمین­کننده و 2 توزیع‌کننده نشان می‌دهد.

شکل (2) ساختار کروموزوم

4-1-3- نسل اولیه

در این قدم به تعداد جمعیتی که موردنیاز است، کروموزوم به‌صورت تصادفی تولید می­شود. تعداد کروموزوم­هایی که از این قدم حاصل شده­ است، در pop1 ذخیره می‌شوند.

4-1-4- عملگر تقاطع

با اعمال عملگر تقاطع بر والدین (pop1)، دو نوزاد با ترکیب ساختار والدین به وجود می­آیند. در این الگوریتم پیشنهادی از روش تقاطع تک‌نقطه­ای برای هر سه قسمت کروموزوم استفاده شده است. در ابتدا دو والد از pop1 انتخاب می­شوند و سپس یک عدد تصادفی I در بازۀ 1 تا 1-n برای اندیسi (کارخانه­ها) تولید می­شود که هر سه قسمت دو والد براساس آن تغییر می­کنند. در دو والد̊ ژن­هایی که شمارۀ I در اندیسi را دارند با یکدیگر عوض شده، و بر اساس محدودیت­های مدل تغییر می‌کنند. تعداد کروموزوم­هایی که از تقاطع والدین حاصل شده،­ در pop2 ذخیره می­شوند. در شکل (3) رویۀ کار تقاطع تک‌نقطه­ای با عدد تصادفی یک ملاحظه می­شود.

4-1-5- عملگر جهش

عملگر جهش موجب تغییرات تصادفی در کروموزوم­های الگوریتم می­شود و آن‌ها را از یک فضای جواب موضعی خاص دور می­کند (زرین­پور و همکاران، 1389). در این الگوریتم از عملگر جهش تصادفی استفاده می‌شود. بدین صورت که یک عدد تصادفی در بازه 1 تا n انتخاب می‌شود و ژن موجود در قسمت  کروموزوم معکوس می­شود.

شکل (3) تقاطع تک‌نقطه‌ای

کروموزوم جدید با معکوس‌کردن ژن  و براساس روابطی که  با ژن­های  و  دارد، بوجود می­آید. سپس کروموزوم به‌وجودآمده براساس محدودیت­های موجود ترمیم می­شود. مثالی از عملگر جهش را در شکل (4) می­توان ملاحظه کرد.

شکل (4) عملگر جهش

4-1-6- تابع برازش

تابع برازش الگوریتم به‌دلیل دوهدفه‌بودن مدل با استفاده از روش معیار جامع[28] با نُرم یک برای هر نسل محاسبه شده است. تابع برازش الگوریتم پیشنهادی به‌صورت تابع (26) است؛ مقدار برحسب درجۀ اولویت تصمیم­گیرنده که هزینه­ها یا زمان سپری‌شده ارجح­تر هستند، داده می­شود.

 و  به‌ترتیب بهترین جواب­های به‌دست‌آمده برای توابع هدف هزینه و زمان هستند.

4-1-7- تابع جریمه

با توجه به محدودیت­ (9) بعضی از کروموزوم‌های تولیدشده ممکن است موجه نباشند. ازهمینرو، در این الگوریتم برای بررسی محدودیت‌های مدل از سیاست جریمه استفاده شده است؛ در این الگوریتم جریمه به‌صورت یک عدد ثابت خیلی بزرگ است. با درنظرگرفتن فرم کلی محدودیت‌های مدل که به‌‌صورت  است، مقدار جریمه برای یک جواب به‌صورت معادلۀ (27) تعریف می‌شود.

در معادلۀ (27) ،  و  به‌ترتیب نشان‌دهندۀ یک مقدار بزرگ، محدودیت و جریمه اعمال‌شده بر جواب هستند.

4-1-8- استراتژی انتخاب

در الگوریتم­های ژنتیک، زمانی که از عملگرهای ژنتیک (تقاطع و جهش) استفاده می‌شود، ممکن است بهترین کروموزوم­ها از دست بروند. ازاین‌رو، در این مقاله از استراتژی انتخاب در هر نسل برای نسل بعد، بر اساس ادغام بهترین­ها استفاده شده است. ادغام بهترین کروموزوم­ها روشی برای نگهداری کروموزوم­هایی با بهترین تابع برازش در هر نسل جدید است. در این استراتژی کروموزوم­های داخل pop1،pop2  و pop3 با توجه به تابع برازش به‌ترتیب از کمترین به بیشترین مرتب می‌شوند و به تعداد جمعیت pop1 برای نسل اولیۀ مرحله بعد، کروموزوم‌هایی با بهترین تابع برازش (حداقل‌ترین) انتخاب می‌شوند.

استراتژی فوق الگوریتم ژنتیک را مجبور می‌کند همواره بهترین کروموزوم­ها را در هر نسل نگه دارد. مکانیزم انتخاب الگوریتم در شکل (5) نشان داده شده است.

شکل (5) مکانیزم انتخاب

4-1-9- شرط توقف

در الگوریتم ژنتیک از شرط توقف­هایی مانند تعداد تکرارهای مشخص و یا حاصل‌نشدن بهبود از نسلی به نسل بعد ، استفاده می­شود. در این الگوریتم پیشنهادی اگر از نسلی به نسل بعد بهبودی صورت نگیرد (رسیدن به همگرایی) توقف حاصل می­شود.

 4-1-10- تنظیم پارامتر و همگرایی GA 

الگوریتم ژنتیک ارائه‌‌شده با نرم‌افزار Matlab نسخه 7 کد شده و بر روی یک سیستم پنتیوم پنج با 1.8 گیگا‌هرتز برای حل مسئله، اجرا شده است. مجموعه پارامترهای استفاده‌شده در زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی در جدول (1) آمده است. برای تنظیم پارامترها و همگرایی الگوریتم از یک مثال عددی با 2=n، 3=m و 3=k و از روش RSM در برنامۀ Minitab14 برای تنظیم پارامترهای الگوریتم استفاده شده است. جواب­ بهینه‌شدۀ پارامترهای الگوریتم در جدول (2) نشان داده شده است. همچنین در شکل (6) میانگین و بهترین تابع برازش برای هر نسل ملاحظه می­شود.

جدول (1) مقدار پارامترهای استفاده‌شده در مدل

جدول (2) مقدار بهینه پارامترهای الگوریتم پیشنهادی

شکل (6) تابع برازش هر نسل

4-2- الگوریتم شبیه‌سازی تبرید (SA)

الگوریتم شبیه‌سازی تبرید یک روش قدم‌به‌قدم و بهبودیافتۀ الگوریتم­های جستجوی محلی است (سوایلا[29]، 1995). مفهوم شبیه‌سازی تبرید در‌واقع یک قیاس بین فرایند آنیل‌کردن فیزیکی در جامدات و فرایند حل مسائل بهینه‌سازی ترکیبی[30] است. این الگوریتم را اولین‌بار کریک پاتریک و همکاران (1983) ارائه کردند و بر اساس ایده­های مطرح‌شده در اوایل دهۀ 1950 توسط متروپلیس و همکاران، منتشر شد. الگوریتم شبیه‌سازی تبرید به‌دلیل پیاده‌سازی آسان و همگرا نشدن به یک جواب بهینه محلی[31] از اهمیت ویژه­ای برخوردار هستند (یقینی و همکاران، 1389).

این الگوریتم فرایند بازپخت را شبیه‌سازی می‌کند. در این فرایند ابتدا یک ماده تا حد ذوب‌شدن حرارت داده شده و سپس به‌تدریج سرد می­شود تا شبکۀ بلورینی حاصل شود و توزیع احتمال انرژی خود را حداقل کند. در الگوریتم­های بهینه‌سازی محلی جواب جدید تنها در صورت بهبود تابع هدف پذیرفته می‌شود. این در حالی است که در شبیه‌سازی تبرید، نَه‌تنها جوابی که باعث بهبود تابع هدف می‌شود، پذیرفته می­شود، بلکه جواب‌های نامناسب نیز به‌طور احتمالی پذیرفته می‌شوند تا در این الگوریتم از به‌دام‌افتادن در منطقۀ بهینۀ محلی جلوگیری شود. تابع احتمالی که موجب جلوگیری از یک جواب بهینۀ محلی می­شود، به‌صورت زیر است:

در این روابط،  T نشان‌دهندۀ درجه‌حرارت در مرحلۀ h و F(T)Δ میزان تغییرات تابع هدف در در دمای T است. در شبیه‌سازی ارائه‌شده، معادله (29) تغییر انرژی حاصله را اندازه‌گیری می‌کند. اگر انرژی کاهش یافته باشد (F<0Δ)، سیستم به حالت جدید می­رود. اگر هم انرژی افزایش یافته باشد (F≥0Δ)، حالت جدید با احتمال ذکرشده و رابطۀ (30) پذیرفته می­شود.

در رابطۀ (30) G یک عدد تصادفی کوچک‌تر از یک است. این رابطه موجب می­شود تا احتمال پذیرش حرکت اشتباه کاهش یابد. زیرا با این رابطه، احتمال پذیرش حرکت اشتباه تابعی از هر دو عامل، دمای سیستم و تغییرات در تابع هدف است (عالم­تبریز و همکاران، 1390).

4-2-1- ساختار الگوریتم شبیه‌سازی تبرید

رویۀ کار الگوریتم شبیه‌سازی تبرید به این گونه است که جواب موجه با تابع هدف را داریم جواب الگوریتم شبیه‌سازی تبرید نیز مانند ساختار کروموزوم ارائه‌شده در زیر‌بخش (4-1-2) است. در هر تکرار از الگوریتم، مجموعه‌جواب­هایی موجه تولید می‌شود و براساس تابع احتمال (28) و تغییرات انرژی، این جواب­ها در همان حالتِ s باقی می‌مانند یا به حالت همسایه‌ای  می­روند. این روند تا زمانی تکرار می­شود تا شرایط توقف حاصل شود. معیار توقف در این الگوریتم (مانند الگوریتم ژنتیک پیشنهادی) این است که از نسلی به نسل بعد بهبود صورت نگیرد (الگوریتم همگرا شده است).

در الگوریتم شبیه‌سازی تبرید تابع برازش مانند زیربخش (4-1-6) و تابع جریمه برای محدودیت (9) مانند زیربخش (4-1-7) است.

4-2-2- ساختار همسایگی SA

کارایی الگوریتم شبیه‌سازی تبرید به مقدار زیادی به تابع همسایگی استفاده‌شده در آن بستگی دارد. تعداد همسایگی در این الگوریتم برابر با تعداد سایت موجود برای احداث کارخانه در نظر گرفته شده است. همچنین ساختار همسایگی الگوریتم به‌صورت تصادفی مانند جهش تصادفی در بخش (4-1-5) است. رویۀ کار این گونه است که یک عدد تصادفی بین 1 تا n تولید و سپس ژن مربوط به قسمت  آن معکوس می­شود. سپس دو قسمت  و با ارتباط با مکان کارخانه به‌‌صورت تصادفی تولید می‌شوند.

4-2-3- تنظیم پارامتر SA

در این الگوریتم از شبیه‌سازی تبرید چندجمعیتی استفاده شده است. در این بخش برای تنظیم پارامتر نیز مانند زیربخش (4-1-10) عمل شده و تعداد جمعیت مناسب 50 به دست آمده است.

5- تجزیه‌وتحلیل نتایج

در این تحقیق نتایج محاسباتی الگوریتم ژنتیک، الگوریتم شبیه‌سازی تبرید و ابزار بهینه‌سازی IBM ILOG CPLEX 12.4 برای مسائلی با ابعاد مختلف از نظر تعداد سایت­های کارخانه، تأمین­کنندگان و توزیع­کنندگان با یکدیگر مقایسه می­شوند.

جدول (3) نتایج محاسباتی مدل برای مسائلی با ابعاد مختلف

شکل (7) مقایسۀ آماری فواصل اطمینان براساس میانگین جواب‌ها

شکل(8) مقایسۀ آماری فواصل اطمینان براساس زمان‌های محاسباتی

با توجه به جدول (3) ابزار بهینه‌سازی سیپلکس جواب مسائل را به‌سرعت محاسبه می­کند؛ اما با افزایش ابعاد مسائل، دیگر قادر به پیدا‌کردن جواب بهینه نیست. موقعی که مسئله به 8 تأمین‌کننده، 8 کارخانه و 8 توزیع­کننده افزایش می‌یابد، سیپلکس دیگر جواب بهینه­ای را نمی­تواند برای این مسئله پیدا کند. این در حالی است که هر دو الگوریتم فراابتکاری GA و SA در ابعاد بالا قادر به یافتن یک جواب مناسب برای مسائل هستند و همچنین در ابعاد کوچک جواب آن‌ها با جواب سیپلکس تفاوت معنا داری ندارد؛ این مطلب صحت کارایی هر دو الگوریتم را نشان می­دهد.

به‌منظور بررسی تحلیل آماری[32] دو الگوریتم فراابتکاری ژنتیک و شبیه‌سازی تبرید ارائه‌شده از آنالیز واریانس[33] و آزمون t (تعداد نمونه­ها 10 عدد است) استفاده شده است. در بحث آنالیز واریانس هدف این است که میانگین­های چندین جامعه با یکدیگر مقایسه شوند و به این موضوع پی برده شود که آیا میانگین­های این جوامع با یکدیگر مساوی هستند یا اینکه اختلاف بارز و معنی‌داری بین آن‌ها وجود دارد. بدین‌منظور، ابتدا خروجی تحلیل واریانس برای هر دو روش حل به کمک نرم­‌افزار Minitab 14 ارائه شده است.

جدول (4) نتایج آزمون آماری t برای میانگین جواب­ها

جدول (5) نتایج آزمون آماری t برای میانگین زمان­ها

همانطور که در جدول (4) نشان داده شده است، فرض صفر به دلیل اینکه میانگین­های تیماری[34] جواب­ها با هم تفاوت معنی­دار دارند، رد شده است. در‌حالی‌که میانگین آماری زمان­های حل دو الگوریتم با توجه به جدول (5) تفاوت معنی‌داری با یکدیگر ندارند. شکل­های (7) و (8) تفاوت معنی­دار روش‌های حل نسبت به هم را به‌ترتیب از نظر جواب­ها و زمان­های حل نشان می­دهد. ازهمین‌رو می­توان بیان کرد که الگوریتم ژنتیک در مقایسه با الگوریتم شبیه‌سازی تبرید کارایی مناسب­تری برای این مدل پیشنهادی دارد؛ زیرا الگوریتم ژنتیک جواب مناسب­تری نسبت به اگوریتم شبیه‌سازی تبرید به دست آورده با توجه به اینکه زمان­های آن‌ها تفاوت معناداری با یکدیگر ندارند.

.

7- نتیجه‌گیری و تحقیقات آتی

در این تحقیق از مدل برنامه­ریزی غیرخطی عدد صحیح مختلط برای کمینه‌کردن هزینه­ها و زمان به‌منظور حل مسئله مکان­یابی و تخصیص در زنجیرۀ تأمین سه‌سطحی با تأمین­کنندگان خارجی استفاده شد. در این مدل تعدادی مکان بالقوه برای احداث کارخانه­ها در میان تعداد معینی از مراکز توزیع و تأمین­کنندگان انتخاب و تخصیص داده شد. مکان­یابی کارخانه­ها و تخصیص شبکۀ توزیع در مدل ارائه‌شده با توجه به محدودیت­ها و اهداف مسئله انجام شدند؛ این اهداف شامل کمینه‌کردن هزینه­های راه‌اندازی، خرید، سفارش، حمل‌و‌نقل و تولید و نیز کمینه‌کردن زمان‌های تولید، ارسال و دریافت هستند. این تحقیق می­تواند به صنایع در توزیع شبکۀ محصولات و مکان‌یابی کارخانه­ها با درنظرگیری فاصله­های آن‌ها از هم کمک کند تا هزینه و زمان مناسبی را به دست آورند.

برای حل مدل از یک ابزار بهینه‌سازی و دو الگوریتم فراابتکاری ژنتیک و شبیه‌سازی تبرید استفاده شد که با توجه به پیچیدگی زیاد مدل و غیرخطی‌بودن مسئله، ابزار بهینه‌سازی سیپلکس تنها توانایی حل مدل در ابعاد کوچک را داشت. اما در ابعاد بزرگ هر دو الگوریتم فراابتکاری جواب‌های مناسبی برای مسائل یافتند. در‌نهایت نیز، با آزمون آماری مشخص شد که الگوریتم ژنتیک کارایی مناسب­تری نسبت به الگوریتم شبیه‌سازی تبرید برای این مسئلۀ ارائه‌شده دارد.

به‌عنوان مطالعات آتی، می‌توان هریک از حالت‌های زیر را در نظر گرفت:

(1) توسعۀ شبکۀ زنجیرۀ تأمین مانند درنظرگیری انواع شبکه­ها (تلفیق روبه‌جلو و معکوس) و افزایش سطوح زنجیرۀ تأمین (انبارها)

(2) استفاده از روش­های حل دیگر مانند الگوریتم­های چندهدفه، الگوریتم ژنتیک چندهدفه[35] و الگوریتم­ ژنتیک مرتب سازی نامغلوب[36]

(3) استفاده از مشخص­های دیگر صنعت مانند تقاضای دوره­ای و چندمحصولی

(4) استفاده از اهداف و تصمیم‌های دیگر مانند بیشینه‌کردن نرخ پرشدگی محصول، حداکثر پوشش و تصمیم‌های موجودی، قابلیت اطمینان و جنبه­های مالی زنجیرۀ تأمین

منابع

زرین­پور، ناعمه.، شوندی، حسن و باقری‌نژاد، جعفر. (1390). «توسعۀ مدل مکان­یابی-تخصیص حداکثر پوشش با امکان ایجاد ازدحام در محیط رقابتی مبتنی بر انتخاب مشتری»، نشریۀ بین المللی مهندسی صنایع و مدیریت تولید، 22(4)،  39-404.

عالم­تبریز، اکبر.، زندیه، مصطفی و رحیمی، علیرضا. محمد. (1390). الگوریتم‌های فراابتکاری در بهینه‌سازی ترکیبی. انتشارات اشراقی.

لکزیان.، محمد و دهقانی. جلال. (1389). «شناسایی و ارزیابی شاخص­های تأثیر گذار بر کاربرد فناوری اطلاعات در مدیریت زنجیرۀ تأمین»، مجلهۀ پژوهش و توسعۀ فناوری، 2، 29-60.

یقینی، مسعود.، پورسیدآقایی، محسن و نجاری، بهنام. (1389). «حل مسئلۀ گروه‌بندی واگن­ها در راه آهن باری با استفاده از الگوریتم شبیه­سازی حرارتی»، پژوهشنامۀ حمل‌و‌نقل، 7(2)، 185-198.

Amin, S.H., & Zhang, G. (2013). "A Multi-objective facility location model for closed-loop supply chain network under uncertain demand and return". Applied Mathematical Modelling,  37(6),  4165-4176.

Balinski, M.L. (1965). "Integer programming: Methods, uses, computation". Management Science, 12(3), 253-313.

Bischoff, M., & Dächert, K. (2009). "Allocation search methods for generalized class of location-allocation problems". European Journal of Operational Research, 192(3), 793-807.

Burer, S., Jones, P.C., & Lowe, T.J. (2008). "Coordinating the supply chain in the agricultural seed industry". European Journal of Operational Research, 185(1), 354-377.

Farahani, R.Z., SteadieSeifi, M., & Asgari, N. (2010). "Multiple criteria facility location problems: A surve"«. Applied Mathematical Modelling,. 34(7), 1689-1709.

Ghalmet, L.G., Francis, R.L., & Kolen, A. (1981). "Finding efficient solutions for rectilinear distance location problems efficiently". European Journal of Operational Research, 22(2), 117-124.

Goldberg, D.E., & Holland, J.H. (1988). "Genetic algorithms and machine learning". Machine Learning, 3, 95-99.

Hakimi, S.L. (1964). "Optimum locations of switching centers and absolute centers and medians of a graph". Operations Research, 12(3), 450-459.

Ho, W., Lee, C.K.M., & Ho, G.T.S. (2008). "Optimization of the facility location-allocation problem in a customer-driven supply chain". Operations Management Research, 1(1), 69-79.

Holland, J.H. (1975). Adaptation in natural and artificial systems. Ann Abor, MI: University of Michigan Press.

Hsieh, K-H., & Tien, F-C. (2004). "Self-organizing feature maps for solving location-allocation problems with rectilinear distances". Computers & Operations Research,. 31(7), 1017-1031.

Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D., & Vecchi, M.P. (1983). »Optimization by Simulated Annealing". Science, 220(4598), 671-680.

Lashine, S.H., Fattouh, M., & Issa, A. (2006). "Location/ allocation and routing decisions in supply chain network design". Journal of Modelling in Management, 1(2), 173-183.

Melo, M.T., Nickel, F., & Saldanha-da-Gama, F. (2009). "Facility location and supply chain management – A review". European Journal of Operational Research,196(2), 401-412.

Nobil, A.H., Kazemi, A., & Alinejad, A. (2012). "A two objective model for location-allocation in a supply chain". The Journal of Mathematics and Computer Science, 4(3), 392-401.

Revelle, C.S., & Laporte, G. (1996)."»The plant location problem: new models and research prospects". I, 44(6), 864-874.

Sarkar, B., & Majumder, A. (2013). "A Study on three different dimensional facility location problems". Economic Modelling, 30, (1), 879-887.

Shankar, B.L., Basavarajappa, S., Chen, J.C.H., & Kadadevaramath, R.S. (2013). "Location and allocation decisions for multi-echelon supply chain network – A multi-objective evolut ionary approach". Expert Syestems with Applications, 40(2), 551-562.

Stadtler, H., & Kilger, C. (2000).Supply chain management and advanced planning. Springer.

Souilah, A. (1995). "Simulated annealing for manufacturing systems layout design". European Journal of Operational Research, 82(3), 592-614.

Tomonobu, S., Kai, S., Hirohito, Y., Katsumi, U., & Toshihisa, F. (2004). "Determination of location and capacity of power facilities by genetic algorithm". Electric Power Components and Systems, 32(4), 375-390.

Tsao, Y-C., & Lu, J-C. (2012). "A supply chain network design considering transportation cost discounts". Transportation Research Part E, 48(2), 401-414.

Vergin, R.C., & Rogers, J.D. (1967). "An algorithm and computational procedure for locating economic facilities", Management Science. 13(6), 240-254.

Walters, D.C., & Sheble, G.B. (1993). "Genetic algorithm solution of economic dispatch with value point boding". IEEE Transactions on Power Systems, 8(3), 1325-1332.

Wang, K.J., & Chen, M.-J., (2009), "Cooperative capacity planning and resource allocation by mutual outsourcing using ant algorithm in decentralized supply chain". Expert Systems with Applications, 36(2,2), 2831-2842.

Wang, K.-J., Makond, B., & Liu, S.-Y. (2011). "Location and allocation decisions in a two-echelon supply chain with stochastic demand- A genetic-algorithm based solution". Expert Systems with Applications, 38(5), 6125-6131.

Wu, L.Y., & Zhang, J.L. (2006). "Capacitated facility location problem with general setup cost". Computers and Operations Research, 33(5), 1226-1241.