تخصیص بهینه بودجه‌های ارتباط با مشتری با رویکرد بهینه‌سازی استوار با هدف بیشینه‌سازی حقوق صاحبان سهام از ارزش مشتری (CE)

مقدمه

در جهان رقابتی امروز، سازمان‌ها به منظور نگهداری و بهبود موقعیت خود در بازارها، تمایل به صرف بودجه‌های قابل توجهی برای ایجاد و حفظ ارتباط با مشتریان دارند. نحوه تخصیص بودجه‌های ارتباط با مشتری، به فعالیت‌های بازاریابی یعنی جذب و نگهداری مشتریان، یکی از مسایل جدی است که سازمان‌ها و مدیران همواره با آن روبرو هستند.

مدیران به طور فزاینده‌ای بر روابط بلندمدت بین مشتری و سازمان که منبع اصلی سودآوری سازمان محسوب می‌شود، تاکید دارند (بلاتبرگ و دایگتون، 1996؛ لمون و زیسامل، 2004). بین علاقمندی‌های مدیران و پژوهشگران از تمرکز سنتی روی مدیریت محصول به تمرکز روی مدیریت ارتباط با مشتری[1] (CRM) تفاوت‌هایی وجود دارد‌، تحقیق روی CE[2] می‌تواند ابزارهای لازم برای لینک CRM به عملکرد مالی بلندمدت را تامین کند. بر این اساس، حداکثرسازی CE هدف اصلی مدیریت روابط مشتری و سازمان است (برگر و نصر، 1998؛ برگر و همکاران، 2001؛ ونکاتسان و کومار، 2004). مدیریت موثر CE مستلزم درک درست از عوامل و فعل و انفعالات میان آن‌ها جهت حداکثرسازی CE است (دسایی و مهاجان، 1998؛ پیفیفر و کاروای، 2000؛ رنارتز و همکاران، 2005). شناسایی اهمیت موضوع CE در تصمیم‌گیری موجب شده، پژوهشگران بر روی CE مطالعات زیادی انجام دهند (برگر و نصر، 1998؛ بلاتبرگ و دایگتون، 1996).

از زمینه‌های مهم پژوهشی در زمینه CE شامل اندازه‌گیری اقتصادی روابط با مشتری، شناسایی ابزارهای بهتر جهت محاسبه CE (مثل اندازه‌گیری CLV) و شناسایی استراتژی‌هایی که منجر به سود آوری روابط و بیشینه‌سازی CE شود. CE مشتری را به عنوان منبع اصلی نقدینگی شرکت یا سازمان می‌شناسد، در این چارچوب، شرکت یا سازمان علاقه‌مند به بیشینه‌سازی ارزش فعلی خالص از طریق مشتری است که به عنوان معیار مناسبی برای ارزش شرکت در نظر گرفته شده است (گاتپا و همکاران، 2002) بنابراین مدل‌های CE راهنمایی به تخصیص منابع با هدف بیشینه‌سازی ارزش شرکت می‌کنند. پژوهش‌های اولیه در زمینه اندازه‌گیری اقتصادی روابط با مشتری، مدل CLV[3] را معرفی می‌کند که جریان نقدینگی تنزیل شده مشتری‌های موجود را اندازه‌گیری می‌‌کند. اخیرا مدل‌های جالب‌تری توسعه داده شده است، برای مثال تخصیص بهینه منابع بین فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری (بلاتبرگ و دایگتون، 1996)، یا اندازه‌گیری ارزش شرکت از طریق روابط جاری و آینده (گاتپا و همکاران، 2002). در نهایت، بیشینه‌سازی CE از طریق بهینه‌سازی هزینه جذب و هزینه نگهداری به مسایل کوچکتر تجزیه می‌شود (بلاتبرگ و همکاران، 2001).

حقوق صاحبان سهام از ارزش مشتری (CE) و ارزش دوره عمر مشتری (CLV)، سنجه‌های ارزیابی سرمایه‌گذاری روی مشتریان هستند. از آنجا که مشتریان، تنها منابع درآمدی سازمان محسوب می‌شوند، CE می‌تواند برآور‌دکننده سود دراز‌مدت سازمان باشد. هر چند تحقیقات کمی، در خصوص نحوه تخصیص بودجه‌های جذب و نگهداری مشتری به کمک روش‌های متکی بر مدل‌سازی ریاضی انجام شده است، اما این مدل‌های موجود در پیشینه موضوع فرض می‌کنند که همه پارامترهای مدل قطعی هستند (مانند مدل پیشنهادی (دنگ و همکاران، 2007) این در حالی است که در دنیای واقعی کمتر برآوردی بدون خطا صورت می‌پذیرد.

در این مقاله رویکرد بهینه‌سازی استوار با در نظر گیری عدم قطعیت در برآورد برخی پارامترهای مدل مورد بررسی قرار می‌گیرد. لذا هدف اصلی این تحقیق" به کارگیری رویکرد بهینه‌سازی استوار برای مقابله با عدم قطعیت موجود در برآورد پارامترهای مدل‌های تخصیص بودجه با هدف بیشینه‌سازی CE است." در بخش اول این مقاله مروری بر ادبیات حقوق صاحبان سهام از ارزش مشتری و مدل‌های تخصیص بودجه صورت گرفته، در بخش دوم رویکرد بهینه‌سازی استوار مورد بررسی قرار گرفته، در بخش سوم مدلسازی استوار تخصیص منابع و حل مدل ارائه می‌گردد و در بخش پایانی نتایج مورد بحث قرار می‌گیرد.

مبانی حقوق صاحبان سهام از ارزش مشتری

بر اساس پژوهش‌های لمون و همکاران (2001)، CE به صورت " جمع تنزیل شده ارزش دوره عمر مشتری‌های موجود و بالقوه یک سازمان" تعریف می‌شود. مفهوم CE مشتری را به عنوان منبع اصلی نقدینگی حال و آینده سازمان معرفی می‌کند و افزایش ارزش دوره عمر مشتری را به عنوان کلید اهداف استراتژی‌های بازاریابی معرفی می‌کند (ویلانوا و هانسنز، 2007؛ برون و همکاران، 2006؛ لمون و همکاران، 2001).

مفهوم CE به مفهوم CLV بر می‌گردد که عبارتست از" مازاد درآمدهای بودجه‌ای مشتری در طول زمان بر هزینه‌های جذب، فروش و نگهداری مشتری توسط سازمان" (کاتلر و آرمسترانگ، 1995). بنابراین CE عبارت است از ارزش فعلی یا جریان نقدینگی خالص برنامه‌ریزی شده که یک شرکت انتظار دارد در طول زمان از مشتری دریافت کند (کارپنتر، 1995) دو نوع ازCE توسط پژوهشگران شناسایی شده‌اند که عبارت‌اند از (سینگ، 2003؛ ویلانوا، 2003).

- CE ایستا[4](SCE): CE ایستا مجموع CLV های یک گروه خاص از مشتریان را گویند (ویلانوا، 2003). مدل‌هایی که CLV هر فرد در یک گروه را برآورد کرده، می‌تواند برای برآورد SCE گروه استفاده شود. در مقابل، مدل‌های SCE وجود دارد که نمی‌تواند CLV فرد را تخمین بزند، اما "میانگینCLV" را محاسبه می‌کند .

- CE پویا[5](DCE): CE پویا عبارت است از مجموع تنزیل شده CE برای گروه‌های مشتریان کنونی و آینده. DCE معیار خوبی برای ارزش شرکت است، زیرا هم روابط کنونی و هم روابط آینده را در نظر می‌گیرد (گوپتا و همکاران، 2004)  DCE مشتری را به عنوان منابع تجدیدپذیر در نظر می‌گیرد و از این رو برای شرکت‌هایی که علاقمند به تعادل بلند مدت استراتژی‌های خود هستند، مفید است (راماشان و همکاران، 2013).

اما می‌توان مدل‌های اولیه CLV را مورد نقد قرار داد از این جهت که آنها DCE را بیشینه نمی‌کنند بلکهCLV یک گروه از مشتریان یا گروهی خاص را حداکثر می‌نمایند. از این رو این دسته از مدل‌ها منجر به تصمیم‌های غیربهینه می‌گردند.

CE در بسیاری از سازمان‌ها به عنوان یک مزیت رقابتی و در بسیاری از صنایع به عنوان هدف عمده بازاریابی مطرح است. زمانی که CLV و CEمدیریت شود، سازمان به رشد سود و موفقیت‌های بلند مدت تشویق شده و اطمینان حاصل می‌کند (پیت و همکاران، 2000؛ سلاتر و همکاران، 2009). بر اساس تعدادی از تحقیقات، جذب مشتری و نگهداری مشتری از آیتم‌های مهم و اثرگذار در تولید و خلقCE است. براساس شارما (2006)، در فرآیند انتقال تفکر محصول- محور به تفکر مشتری- محور، CE اغلب به عنوان پایه استراتژی بازاریابی ارایه شده است. سازمان‌ها باید فعالیت‌های بازاریابی را روی حفظ مشتری و نگهداری مشتری و هر آنچه باعث افزایش ارتباط مشتری می‌شود، متمرکز کنند (رست و همکاران، 2004). سازمان‌ها باید فاکتورهایی که بیشترین تاثیر را روی مشتری دارند، شناسایی کرده و فعالیت‌های بازاریابی را در جهت درست هدایت کنند، هرچند مشکل‌ترین کار برای بازاریاب‌ها، شناسایی فاکتورهاست تا مشتریان جدید را جذب و مشتریان فعلی را حفظ کنند (لمون و همکاران، 2001؛ رست و همکاران، 2001؛ هانسنز و همکاران، 2008).

عوامل موثر CE

به طور معمول، شرکت‌ها سودآوری یک سازمان را در سودآوری محصول و تولید ارزیابی می‌کنند. چالش کلیدی شرکت‌ها جلب رضایت مشتری است. برای جذب و جلب رضایت مشتریان و برای جلوگیری از حذف مشتریان، اتخاذ یک تمرکز مشتری محور برای شرکت ضروری است. دیدگاه مشتری محور منجر به مفهوم CE می‌شود. CE بر اساس سه عامل اساسی است که عبارتند از حقوق صاحبان سهام از ارزش[6]، حقوق صاحبان سهام از ارزش برند[7]، حقوق صاحبان سهام از ارتباط[8]. هریک از این عوامل CE، مرکب از اعمالی است که یک شرکت برای تقویت ارزش مشتریان خود به کار می‌گیرد (اسموا، 2014). رویکرد مشتری محور تشکیل‌دهنده اساس و پایه CE است. CE حاکی از بخش‌بندی مشتریان و استنتاج عوامل کلیدی CE برای هر بخش است. CE دینامیک و پویا است و درنتیجه عوامل کلیدی CE برای یک شرکت یا صنعت ممکن است در طول زمان تغییر کند. چارچوب CE متمایل به هدایت منابع شرکت برای به حداکثر رساندن تاثیر خود است (لومینگ و آدام، 2013).

تخصیص بودجه بازاریابی با هدف بیشینه‌سازی CE

سازمان‌ها و شرکت‌ها پس از محاسبه CE، باید به دنبال ماکزیمم‌سازی CE باشند تا بتوانند از همه منافعی که این سنجه می‌تواند به همراه آورد استفاده کنند (چاوانان و همکاران، 2015). ‌برای راهنمایی جهت تخصیص بودجه‌ بازاریابی بین جذب مشتریان جدید و حفظ مشتریان موجود، مدل‌هایی توسعه داده شده ‌است. با وجود این، پژوهش‌های اندکی در زمینه تخصیص بودجه‌های بازاریابی به کمک مفهوم حقوق صاحبان سهام از ارزش مشتری برداشته شده است و هنوز حیطه وسیعی برای انجام کارهای بیشتر وجود دارد (البدوی و کوشا، 2011).

دیدگاه سازمان وقتی که بر اساس CE باشد سازمان باید بطور موثر جذب مشتری و حفظ مشتری را مدیریت کند (بلاتبرگ و همکاران، 2001؛ راست و همکاران، 2004؛ ویلانوا و هانسز، 2007).

اگرچه یک سازمان همه تلاش‌هایش را جهت جذب و نگهداری مشتری متمرکز می‌کند، ممکن است ارزش دوره عمر مشتری در کوتاه مدت کاهش یابد، در صورتی که هزینه‌های تخصیص یافته برای این هدف، بیشتر از جریان نقدینگی تولید شده توسط مشتریان باشد (هانسنز و همکاران، 2008).

از چالش‌های مهم در این زمینه مربوط به تخصیص منابع بین فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری است (بلاتبرگ و دایگتون، 1996). به بررسی موضوع تخصیص بهینه منابع به فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری پرداخته‌اند. آن‌ها فعالیت‌های جذب و نگهداری را به عنوان فعالیت‌های مستقل در نظر گرفتند (برگر و همکاران، 2001). مدل بلتبرگ و دایتون (1996) را در مورد تخصیص بودجه بین فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری توسعه دادند (دانگ و همکاران، 2007). مدلی بر پایه تحقیق در عملیات ارایه دادند که اصلاح شده مدل برگر و بچواتی است. مدل استفاده شده در این مقاله مدل دانگ و همکاران (2007) است که به شرح اجمالی این مدل پرداخته می‌شود.

مدل تخصیص بودجه برای مدیریت CE

این مدل توسط دانگ و همکاران (2007) ارایه شده است. این مدل اصلاح شده مدل (برگر و بیچواتی، 2001) است. مدل ارایه شده توسط دانگ و دیگران به صورت زیر است:

(1-1)

(1-2)

معادله (1-1) تابع هدف و نشان‌دهنده CE است، معادله (1-2) محدودیت بودجه را نشان می‌دهد. بر اساس مدل آن‌ها پیشنهاد می‌شود که نرخ‌های جذب و نگهداری به ترتیب از طریق روابط ذیل محاسبه شوند:

(1-3)

(1-4)

که در رابطه‌های بالا، مقادیر  مقادیر ثابت مثبتی هستند که باید تعیین شوند. پارامترهای حداقل و حداکثرهای نرخ جذب و نرخ نگهداری با پرسش از مدیریت تعیین می‌شود، لذا نگرانی اصلی در مورد عدم قطعیت پارامترهایی است که با قضاوت مدیریت تعیین می‌شود.

بهینه‌سازی استوار

در مدل‌های بهینه‌سازی ریاضی، معمولاً ماکسیمم یا مینیمم یک تابع هدف روی یک مجموعه از متغیرهای تصمیم جستجو می‌شود. در این مسایل فرض می‌شود که داده‌ها دقیقاً شناخته شده و معلوم هستند و از اثر عدم‌قطعیت داده‌ها و پارامترها، روی بهینگی و شدنی بودن مدل‌ها چشم‌پوشی می‌شود. اما مقدار پارامترها و داده‌های ورودی مسایل بهینه‌سازی همیشه به صورت قطعی و مشخص در دسترس ناست و ممکن است مقدار این پارامترها از مقادیر اسمی فرض شده متفاوت باشد.

در بسیاری از مسایل واقعی بهینه‌سازی عدم‌قطعیت وجود دارد. در بهینه‌سازی زنجیره عرضه، تقاضای واقعی برای محصولات، نیازمندی‌های واقعی به مواد و منابع دقیقاً مشخص نیستند. در علوم مهندسی نیز داده‌ها تحت تأثیر خطاهای اندازه‌گیری هستند. در مسایل بهینه‌سازی این خطاها یکی از منابع عدم‌قطعیت داده‌ها را تشکیل می‌دهند. در مدل‌های موجود تخصیص بودجه‌های ارتباط با مشتری که شامل بودجه‌های جذب و نگهداری مشتری است برخی از پارامترهای مدل با پرسش از مدیریت تعیین می‌شود و از آنجایی که در دنیای واقعی کمتر برآوردی به موفقیت کامل در برآورد می‌انجامد، لذا این برآوردها دارای خطا می‌باشند و باعث به‌وجود آمدن عدم قطعیت می‌شود.

به طور کلی، در کاربردهای واقعی مسایل بهینه‌سازی، نمی‌توان از این مطلب چشم‌پوشی کرد که گاهی یک عدم‌قطعیت ناچیز در داده‌ها، می‌تواند حل بهینه موجود را کاملاً بی‌معنی کند. هنگامی که در یک مساله برنامه‌ریزی ریاضی برخی پارامترهای تابع هدف غیرقطعی هستند، به دست آوردن مقدار بهینه آسان نیست. هم‌چنین اگرمحدودیت‌ها دارای پارامترهای غیرقطعی باشند، هنگام تحقق برخی از مقادیر واقعی پارامترها، ممکن است که این محدودیت‌ها برآورده نشوند.

بهینه‌سازی استوار روشی برای برخورد با عدم قطعیت پارامترهای غیرقطعی مسایل بهینه‌سازی است که اخیرا توسعه یافته است. در این رویکرد بهینه‌سازی، بدترین حالت‌هایی را که ممکن است برای پارامترهای غیرقطعی تحقق یابد، بهینه می‌کنند. در این رویکرد به دنبال جواب‌های نزدیک به بهینه‌ای هستیم که با احتمال بالایی موجه باشند. به عبارت دیگر با کمی صرف نظر کردن از مقدار تابع هدف بهینه به دنبال جوابی هستیم که با احتمال بالایی جواب‌های واقعی بهتر از آن جواب باشند. از نظر سختی کار، بهینه‌سازی استوار، روشی متفاوت برای کنترل عدم‌قطعیت داده‌ها ارایه نموده است.

در زمینه پایداری تعاریف مختلفی در مورد پاسخ پایدار و چگونگی محاسبه پاسخ‌های پایدار وجود دارد:

ملوی (1995)، بر اساس مدل پیشنهادی خود که ترکیب برنامه‌ریزی آرمانی و توصیف داده‌های مسأله بر مبنای سناریو است، تعریفی برای پاسخ پایدار و مدل پایدار ارایه نموده است. بر اساس تعریف ملوی، اگر پاسخ حاصل از یک مدل بهینه‌سازی برای همه سناریوهای در نظر گرفته‌شده برای داده‌های ورودی بتواند نزدیک به بهینه باقی بماند این پاسخ پایدار است و در صورتی که مدل بهینه‌سازی نیز برای تمامی داده‌ها، تحت کلیه سناریوهای در نظر گرفته شده تقریباً عملی باشد، مدل پایدار نامیده می‌شود. برتسیماس و سیم[9] (2004)، راه‌حل پایدار را یک پاسخ نزدیک به بهینه می‌دانند که به منظور حصول اطمینان از موجه ماندن محدودیت‌ها، تحت تغییرات برخی از داده‌های ورودی از بهینگی دور شده است (برتسیماس و سیم، 2004). در این مقاله از رویکرد پیشنهادی ملوی (1995) استفاده می‌شود که به توضیح کامل آن پرداخته می‌شود.

مدل بهینه‌سازی استوار پیشنهادی ملوی

ملوی با بررسی مشکلات موجود در روش‌های کلاسیک ورود عدم‌قطعیت داده‌ها در مسأله، نیاز به ایجاد مدلی را تشخیص داده که قابلیت تولید پاسخ‌هایی با حساسیت کمتر نسبت به داده‌های مدل در مقایسه با روش‌های کلاسیک را داشته باشد.ملوی، راه‌حل بهینه ارائه‌شده توسط یک مدل بهینه‌سازی را «پایدار» می‌داند؛ در صورتی که با تغییر داده‌های ورودی «نزدیک» به بهینه باقی بماند. این امر به عنوان پایداری پاسخ در نظر گرفته می‌شود. همچنین، یک راه‌حل «پایدار» نامیده می‌شود؛ اگر با تغییرات کوچک در داده‌های ورودی تقریباً «عملی» بماند. این امر به عنوان پایداری مدل در نظر گرفته می‌شود.

ملوی، یک مدل عمومی برای بهینه‌سازی استوار، ارائه نموده است در روش پیشنهادی وی، قواعد برنامه‌ریزی آرمانی با داده‌های ورودی توصیف‌شده بر اساس سناریو، ترکیب و یکپارچه‌سازی شده است. این مدل، یک مجموعه از پاسخ‌هایی را که به صورت تدریجی حساسیتشان نسبت به تحقق داده‌های ورودی یک سناریو کاهش می‌یابد، تولید می‌نماید.

ملوی برای تعریف این مدل بهینه‌سازی استوار، دو مجموعه متغیر تعریف می‌کند که عباتند از: کنترل و طراحی. یک متغیر کنترل وقتی پارامترهای دارای عدم‌قطعیت مشاهده می‌شوند، در معرض تعدیل و تنظیم قرار می‌گیرد، اما برخلاف آن، یک متغیر طراحی، نمی‌تواند با تحقق یک مجموعه خاص از داده‌های مشاهده‌شده، تعدیل و تنظیم شود.

این مدل، دارای دو دسته محدودیت متمایز است: محدودیت‌های ساختاری و محدودیت‌های کنترلی. محدودیت‌های ساختاری با پیروی از دیدگاه برنامه‌ریزی خطی مدل‌سازی می‌شوند و داده‌های ورودی آن‌ها، بدون هر گونه تغییری هستند. در صورتی که، محدودیت‌های کنترلی که به عنوان محدودیت‌های کمکی در نظر گرفته می‌شوند، تحت‌تأثیر تغییر داده‌های ورودی قرار می‌گیرند.

فرم کلی این مدل بهینه‌سازی استوار به صورت زیر ارایه می‌گردد:

(2-1)

(2-2)

(2-3)

(2-4)

 در این مدل  در نظر گرفته می‌شود که یک بردار از متغیرهای طراحی است و که  یک بردار از متغیرهای کنترل است. معادله (2-2) محدودیت‌ ساختاری است و ضرایب آن ثابت و بدون تغییر است. در حالی که معادله (2-3) محدودیت کنترلی است و ضرایب آن در معرض تغییر قرار دارند. معادله (2-4) غیر منفی بودن بردارها را برآورده می‌نماید.

مسایل مدل‌سازی‌شده به وسیله بهینه‌سازی استوار شامل یک مجموعه از سناریوها  است، تحت هر یک از سناریوهای  ضرایب مربوط به محدودیت‌های کنترل با احتمال ثابت عبارت خواهندبود از  که  نشان‌دهنده احتمال وقوع سناریو  است و مجموع احتمال وقوع سناریوهای مختلف برابر یک است. جواب بهینه این مدل، با در نظرگیری بهینگی، پایدار خواهد بود، اگر برای هر یک از سناریوهای که محقق می‌شود، «نزدیک» به بهینه باقی بماند،‌ این را پایداری پاسخ گویند. همچنین، مدل پایدار است، اگر با توجه به عملی بودن با تحقق هر یک از سناریوهای ، پاسخ تقریباً عملی بماند. این را پایداری مدل می‌گویند. مفهوم «نزدیک» و «تقریباً» از طریق انتخاب نرم‌ها و قواعدی قابل شفاف‌سازی است. احتمال بسیار پایینی وجود دارد که هر پاسخ به دست آمده از مدل فوق، برای کلیه سناریوهای مشخص‌شده هم عملی و هم بهینه باشد. بنابراین،‌ لازم است که مقداری برای تبادل میان پایداری مدل و پاسخ در نظر گرفته شود. در مدل پیشنهادی ملوی، امکان این تبادل منظور شده‌است.

برای طراحی این مدل پیش از سایر موارد، متغیر کنترلی  برای هر سناریو و بردار  که غیرعملی بودن مجاز را در محدودیت‌های کنترلی، تحت سناریوی  اندازه‌گیری خواهد نمود، تعیین می‌شوند. سپس، یک مدل بهینه‌سازی استوار بر اساس مسأله برنامه‌ریزی ریاضی ارائه شده فوق به صورت زیر مدل می‌گردد:

(2-5)

(2-6)

(2-7)

(2-8)

اولین عبارت تابع هدف، استواری جواب و عبارت دوم استواری مدل را نشان می‌دهد. بـا در نظـرگیری چندیـن سناریـوی مختلف، تابـع هدف ، تبدیل به یک متغیـر تصادفی می‌شود که تحت سناریو  با احتـمال  دارای ارزشی معـادل  خواهد بود. بنابراین، دیگر یک گزینه برای تابع هدف وجود ندارد. ملوی از مقدار متوسط  استفاده نموده است. این تابع در برنامه‌ریزی احتمالی خطی به کار می‌رود، مدل در آنالیز بدترین حالات، حداکثر مقدار این تابع را حداقل می‌نماید و تابع هدف به صورت  تعریف می‌گردد (مولاوی، 1995).

برای دست‌یابی به یک جواب نزدیک به بهینه‌ استوار، می‌توان عبارت اول تابع هدف را به امید ریاضی و واریانس تبدیل کرد. به عبارت دیگر می‌توان مقدار مورد انتظار تابع هدف را در یک سناریو بهینه کرد و همچنین با کمینه کردن واریانس تابع هدف در سناریوهای مختلف، درجه ریسک مدل را پایین آورد تا جواب به دست آمده استوار باشد. برای رسیدن به این هدف فرض کنید که تابع هدف در سناریوی  به صورت  نشان داده می‌شود. در این صورت می‌توان آن را به شکل زیر به امید ریاضی و واریانس تبدیل کرد:

(2-9)

در رابطه (2-9) پارامتر  درجه ریسک‌پذیری مدل‌ساز را نشان می‌دهد. همان‌طور که در رابطه (2-9) مشخص است یک عبارت درجه دوم در تابع هدف وجود دارد (یو و لی، 2000). به جای عبارت درجه دوم رابطه (2-9) از یک عبارت قدر مطلق به صورت زیر استفاده کردند:

(2-10)

اگرچه تابع هدف (2-10) دارای عبارت قدر مطلق است می‌توان به راحتی و با استفاده از متغیر  آن را به صورت زیر به تابع هدف خطی تبدیل کرد:

(2-11)

(2-12)

دومین عبارت در تابع هدف،  یک تابع جریمه عملی نبودن است که برای جریمه نمودن تخطی از محدودیت‌های کنترل تعدادی از سناریوها استفاده می‌شود تا از نقض شدن محدودیت‌ها در سناریوها جلوگیری کرده و استواری مدل را تضمین کند. تخطی از محدودیت‌های کنترل بدین معناست که راه‌حل‌های غیرعملی برای یک مسأله تحت برخی از سناریوها به دست آمده است (مولاوی، 1995).

ضریب w نیز برای ارتباط بین "استواری جواب" و "استواری مدل" به کار می‌رود و مقدار آن توسط تصمیم‌گیر و مدل‌ساز تعییین می‌شود. نوع تابع جریمه مورد استفاده در مدل به مساله بستگی دارد. اما ملوی دوگزینه زیر را پیشنهاد نموده است:

: این تابع درجه دو برای محدودیت‌های کنترلی تساوی که در آن‌ها هر دو انحراف مبت و منفی نامطلوب است به کار می‌رود. در نتیجه مدل برنامه‌ریزی درجه دو خواهد شد.

: این نوع تابع جریمه در محدودیت‌های کنترلی به صورت نامعادله که در آن‌ها فقط انحراف مثثبت نامطلوب است به کار می‌رود(مولاوی، 1995). لذا مدل نهایی به شکل زیر در می‌آید:

مدل استوار پیشنهادی تخصیص بودجه با هدف بیشینه‌سازی CE

در این تحقیق، جهت استوارسازی مدل عمومی تخصیص منابع از رویکرد استوار سناریو محور ملوی (1995) استفاده شده است، لذا با استفاده از این رویکرد می‌توان مدل استوار مسأله تخصیص بودجه را به صورت مدل زیر نوشت؛

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)

(3-5)

(3-6)

(3-7)

در مدل فوق سایر پارامترها و متغیرها به صورت زیر تعیین می‌شوند:

: تعداد مشتریان بخش s

: سود حاصل از یک مشتری بخش s

: نرخ تنزیل مناسب

  : میزان بودجه تخصیص یافته به فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری

: نرخ جذب مشتری بخش s در سناریو

: نرخ نگهداری مشتری بخش s در سناریو  

: حداقل نرخ جذب مشتری بخش s در سناریو

: حداقل نرخ نگهداری مشتری بخش s در سناریو  

: حداکثر نرخ جذب قابل حصول بخش s در سناریو

: حداکثر نرخ نگهداری قابل حصول بخش s در سناریو  

: درجه ریسک پذیری

: احتمال رخداد سناریو

: بردار جریمه نرخ جذب بخش s در سناریو  

: بردار جریمه نرخ نگهداری بخش s در سناریو  

اولین و دومین عبارت تابع هدف (3-12) به ترتیب نشان‌دهنده امید ریاضی و واریانس است و استواری جواب را تضمین می‌کند و آخرین عبارت تابع هدف یک تابع جریمه عملی نبودن است که جهت جریمه نمودن تخطی از محدودیت‌های کنترل تعدادی از سناریوها استفاده می‌شود تا از نقض شدن محدودیت‌ها در سناریوها جلوگیری کرده و استواری مدل را نشان می‌دهد. محدودیت‌های (3-2) و (3-3) محدودیت‌های کنترلی نرخ‌های جذب و نگهداری در هر بخش بازار و در هر سناریو  را نشان می‌دهند. محدودیت (3-4) محدودیت بودجه در تخصیص بودجه‌های جذب و نگهداری را نشان می‌دهد. محدودیت (3-5) جهت خطی‌سازی عبارت دوم تابع هدف وارد مدل می‌شود. محدودیت (3-6) نشان‌دهنده آن است که مجموع احتمال رخداد کلیه سناریوها برابر یک است و محدودیت (3-7) نشان‌دهنده تابع هدف در سناریوی  است.

برای دست‌یابی به یک جواب نزدیک به بهینه استوار، می‌توان مقدار مورد انتظار تابع هدف را در هریک از سناریوها بهینه کرد و همچنین با کمینه کردن واریانس تابع هدف در سناریوهای مختلف، درجه ریسک مدل را پایین آورد تا جواب بدست آمده استوار باشد.

اعتبارسنجی مدل با استفاده از داده‌های مطالعات پیشین

 نمونه اول بر اساس نمونه‌ای از دنیای واقعی که از برگز و داگ گرفته شده است، ارایه می‌شود. یک شرکت بیمه 60 میلیون واحد پولی را به عنوان بودجه بازاریابی صرف فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری می‌کند و می‌خواهد بودجه‌اش را در یک بازار یک‌بخشی بین این دو فعالیت توزیع کند. جمعیت این بازار یک میلیون نفر است. سود به ازای هرمشتری 400 واحد پولی است و نرخ تنزیل 20% در نظر گرفته شده است. پارامترهای غیر قطعی حداقل و حداکثرهای نرخ جذب و نگهداری با پرسش از مدیریت به دست آمده است:   فرض کنید دو نقطه دیگر برای برآورد منحنی جذب به شرح زیر باشند (1) 10 واحد پولی به ازای هر مشتری منجر به نرخ جذب 1% می‌شود، (2) 20 واحد پولی به ازای هر مشتری منجر به نرخ جذب 25% می‌شود. برای برآورد منحنی نگهداری نیز نقاط زیر به دست آمده است: (1) 20 واحد پولی به ازای هر مشتری منجر به نرخ نگهداری 33% می‌شود، (2) 30 واحد پولی به ازای هر مشتری منجر به نرخ نگهداری 50% می‌گردد. با توجه به اطلاعات فوق می‌توان توابع پاسخ نرخ جذب و نگهداری را به شکل زیر تهیه نمود:

 (3-8)

(3-9)

این مدل با فرض قطعی بودن پارامترها را می‌توان به شکل زیر مدلسازی نمود. مدل قطعی به شکل زیر خواهد بود:

(3-10)

(3-11)

(3-12)

(3-13)

پس از حل مدل قطعی به کمک نرم افزار GAMS برای این نمونه جواب زیر به دست می‌آید:

برای به‌کارگیری روش جدید پیشنهادی ابتدا تعدادی سناریو تصادفی برای پارامترهای غیر قطعی ایجاد می‌نماییم:

جدول1- سناریوهای محتمل

احتمال رخداد هر سناریو 0.25 ا. به این ترتیب می‌توان مدل استوار مذکور را به شکل زیر نوشت:

اگر هریک از سناریوها به عنوان مقادیر قطعی پارامترها فرض شود، مقادیر متغیرها و تابع هدف به صورت زیر به دست می‌آید:

جدول 2- مقادیر متغیرها و تابع هدف در حالت قطعی

حال با در نظر گرفتن غیرقطعی بودن پارامترها و در نظر گیری چندین سناریو مختلف، دیگر یک گزینه برای تابع هدف وجود ندارد و مقدار تابع هدف بر اساس مدل استوار پیشنهادی به دست می‌آید، سایر مقادیر نیز در جدول ذیل آمده است:

جدول 3- مقادیر بهینه متغیرها و تابع هدف در حالت غیرقطعی

ضریب w برای ارتباط بین "استواری جواب" و "استواری مدل" به کار می‌رود و مقدار آن توسط تصمیم‌گیر و مدل‌ساز تعییین می‌شود. در اینجا با افزایش مقدار w مقدار تابع هدف همواره بدتر می‌شود.

اعتبارسنجی مدل با استفاده از مطالعه موردی یکی از بانک‌های کشور

زمینه انجام تحقیق صنعت بانکداری و مورد مطالعاتی یکی از بانک‌های کشور است. در حالت اول فرض می‌کنیم بازار هدف یک‌بخشی است. بودجه کل بازاریابی این بانک، 20میلیارد ریال است، این بانک می‌خواهد کل بودجه‌اش را بین فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری یک بازار یک بخشی توزیع کند. جمعیت این بازار 8 میلیون نفر است. سود به ازای هر مشتری 160 هزار ریال و نرخ تنزیل 20% گرفته شده است. در ادامه لازم است برای تعیین پارامترهای مجهول از قضاوت خبرگان بانکی استفاده نماییم.

- تهیه سناریوها بر اساس نظرات خبرگان بانکی

برای استفاده از رویکرد پیشنهادی ملوی ابتدا سناریوهایی بر اساس نظر خبرگان بانکی تعریف می‌گردد که شامل 30 سناریو است. این سناریوها بر اساس پاسخ پرسش‌هایی که از مدیران به دست آورده‌ایم معرفی می‌کنیم. لذا پرسش‌های زیر از مدیران بخش تجهیز منابع و بازاریابی پرسیده می‌شود:

- بهترین برآورد از کمترین مقدار نرخ جذب مشتریان چیست؟

- بهترین برآورد از سقف مقدار نرخ جذب مشتریان چیست؟

- بهترین برآورد از کمترین مقدار نرخ نگهداری مشتریان چیست؟

- بهترین برآورد از سقف مقدار نرخ نگهداری مشتریان چیست؟

جدول زیر شامل اطلاعات مربوط به هر سناریو است:

جدول4- سناریوهای ایجادشده بر اساس نظر خبرگان

احتمال رخداد کلیه سناریوها برابر و مجموع احتمال رخداد همه سناریوها برابر یک است. در حالت اول که بازار یک‌بخشی است، می‌توان مدل استوار مذکور را به شکل زیر نوشت:

با در نظر گرفتن کلیه مشتریان در یک بخش و غیرقطعی بودن پارامترها و وجود چندین سناریو مختلف، مقادیر متغیرها و تابع هدف بر اساس مدل استوار فوق به دست می‌آید:

جدول 5- مقادیر متغیرها و تابع هدف در حالت غیرقطعی (بازار یک‌بخشی)

درجدول 5 مقادیر متغیرهای هزینه جذب و هزینه نگهداری و ارزش ویژه مشتری برای کلیه سناریوها محاسبه شده است. ستون سمت چپ نیز نسبت میزان CE در حالت غیرقطعی را به میزان CE در حالت قطعی نشان می‌دهد. به ازای مقادیر مختلف پارامترهای غیر قطعی در سناریوهای مختلف مشاهده می‌کنیم هرچه مقدار سقف نرخ جذب افزایش می‌یابد جواب بهینه استوار به جواب قطعی نزدیک شده و در همه شرایط موجه است. با در نظر گرفتن سناریوهای مختلف، برای برخی سناریوها جواب‌های حاصل از مدل قطعی موجه نیست اما برای همان سناریوها جواب بهینه استوار با کمی صرف نظر کردن از مقدار بهینه تابع هدف همچنان موجه و قابل قبول است. نمودار 1 نیز نتایج را به ازای مقادیر مختلف حداکثر نرخ جذب نشان می‌دهد.

نمودار 1- تغییرات مقدار بهینه تابع هدف بر اساس تغییرات بیشینه نرخ جذب

در حالت دوم بازار هدف را دو بخشی در نظر گرفته و مشتریان را به دو دسته مشتریان کلیدی و مشتریان معمولی تقسیم‌بندی می‌کنیم. این بانک می‌خواهد کل بودجه‌اش را بین فعالیت‌های جذب و نگهداری مشتری یک بازار دوبخشی توزیع کند. جمعیت بخش اول این بازار 7 میلیون و 992 هزار نفر است، برای بخش اول سود حاشیه‌ای به ازای هر مشتری 160 هزار ریال و نرخ تنزیل 20% گرفته شده است. جمعیت بخش دوم 8 هزار نفر و سود حاشیه‌ای به ازای هر مشتری 350 هزار ریال است. در ادامه جهت استفاده از رویکرد پیشنهادی بر اساس نظر خبرگان، تعداد 10 سناریو برای هر بخش بازار تهیه می‌نماییم. جدول زیر شامل اطلاعات مربوط به هر سناریو در هر بخش بازار است.

جدول 6- سناریوهای محتمل در حالت بازار دوبخشی

احتمال رخداد همه سناریوها برابر و مجموع احتمال رخداد کلیه سناریوها برابر یک است. برای این حالت که بازار شامل دو بخش است، می‌توان مدل استوار را به شکل زیر نوشت:

حال با توجه به غیرقطعی بودن پارامترها و با استفاده از مدل فوق مقادیر متغیرها و تابع هدف به صورت زیر به دست می‌آید:

جدول 7- مقادیر متغیرها و تابع هدف در حالت غیرقطعی (بازار دو‌بخشی)